Question

【題目】對(duì)由個(gè)、個(gè)和個(gè)排成的行，在其下面重新定義一行（比上面一行少一個(gè)字母）.若其頭上的兩個(gè)字母不同，則在該位置寫(xiě)上第三個(gè)字母；若其頭上的兩個(gè)字母相同，則在該位置寫(xiě)上該字母.對(duì)新得到的行重復(fù)上面的操作，直到變?yōu)橐粋�(gè)字母為止.圖給出了的一個(gè)例子.

求所有的正整數(shù)，使得對(duì)任意的初始排列，經(jīng)上述操作后，所得到的三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上的字母要么全相同，要么兩兩不同.

Answer 1

【答案】見(jiàn)解析

【解析】

當(dāng)時(shí)，只有如圖的6種情形:

均符合題意.

對(duì)的情形，依下面的方法處理.

當(dāng)時(shí)，用0、1、2分別代表.表示第行的第個(gè)數(shù)，那么，

由此可知，最后一行的那個(gè)數(shù)為

.

如果為滿足條件的數(shù)，

則對(duì)任意，均應(yīng)有. ①

而. ②

式①等價(jià)于

.

這樣，結(jié)合式②應(yīng)有

. ③

取和，

這里任意取，但要求滿足中恰有個(gè)0，個(gè)1，個(gè)2.

分別代入式③，再相減（將被除數(shù)相減）得. ④

注意到 ，

于是，式④變?yōu)?/span>，矛盾（注意用在代入式③時(shí)在被除數(shù)中出現(xiàn)）.

所以，.