Question

【題目】如圖，直線(xiàn)PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，AB是⊙O的弦，∠PAB的平分線(xiàn)AC交⊙O于點(diǎn)C，連結(jié)CB，并延長(zhǎng)與直線(xiàn)PQ相交于點(diǎn)Q，若AQ=6，AC=5．

（Ⅰ）求證：QC2﹣QA2=BCQC；

（Ⅱ）求弦AB的長(zhǎng)．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析；（Ⅱ）

【解析】試題（Ⅰ）由于PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，再由切割線(xiàn)定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC從而命題得到證明

（Ⅱ）解：PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，由弦切角等于所對(duì)弧的圓周角∠PAC=∠CBA，又由已知∠PAC=∠BAC，所以∠BAC=∠CBA，從而AC=BC=5，又知AQ=6，由（Ⅰ）可得△QAB∽△QCA，由對(duì)應(yīng)邊成比例，求出AB的值．

試題解析：（Ⅰ）證明：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，

∴由切割線(xiàn)定理得：QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC=QC2﹣BCQC．

∴QC2﹣QA2=BCQC．

（Ⅱ）解：∵PQ與⊙O相切于點(diǎn)A，∴∠PAC=∠CBA，

∵∠PAC=∠BAC，∴∠BAC=∠CBA，∴AC=BC=5

又知AQ=6，由（Ⅰ） 可知QA2=QBQC=（QC﹣BC）QC，∴QC=9

由∠QAB=∠ACQ，知△QAB∽△QCA，∴，∴．