Question

已知點A（0，-2），橢圓E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的離心率為

3

2

，F(xiàn)是橢圓E的右焦點，直線AF的斜率為

2 3

3

，O為坐標(biāo)原點．
（Ⅰ）求E的方程；
（Ⅱ）設(shè)過點A的動直線l與E相交于P，Q兩點，當(dāng)△OPQ的面積最大時，求l的方程．

Answer 1

考點：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），利用直線的斜率公式可得

2

c

=

2 3

3

，可得c．又

c

a

=

3

2

，b²=a²-c²，即可解得a，b；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx-2．與橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系，再利用弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式即可得出S_△OPQ．通過換元再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)F（c，0），∵直線AF的斜率為

2 3

3

，
∴

2

c

=

2 3

3

，解得c=

3

．
又

c

a

=

3

2

，b²=a²-c²，解得a=2，b=1．
∴橢圓E的方程為

x2

4

+y2=1；
（Ⅱ）設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂）．
由題意可設(shè)直線l的方程為：y=kx-2．
聯(lián)立

y=kx-2 x2+4y2=4

，
化為（1+4k²）x²-16kx+12=0，當(dāng)△=16（4k²-3）＞0時，即k2＞

3

4

時，
x1+x2=

16k

1+4k2

，x1x2=

12

1+4k2

．
∴|PQ|=

(1+k2)[(x1+x2)2-4x1x2]

=

(1+k2)[( 16k 1+4k2 )2- 48 1+4k2 ]

=

4 1+k2 4k2-3

4k2+1

，
點O到直線l的距離d=

2

1+k2

．
∴S_△OPQ=

1

2

d•|PQ|=

4 4k2-3

4k2+1

，
設(shè)

4k2-3

=t＞0，則4k²=t²+3，
∴S△OPQ=

4t

t2+4

=

4

t+ 4 t

≤

4

2 4

=1，當(dāng)且僅當(dāng)t=2，即

4k2-3

=2，解得k=±

7

2

時取等號．
滿足△＞0，∴△OPQ的面積最大時直線l的方程為：y=±

7

2

x-2．

點評：本題綜合考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、斜率計算公式、橢圓的方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式、點到直線的距離公式、三角形的面積計算公式、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了換元法和轉(zhuǎn)化方法，屬于難題．