Question

（本小題滿分14分）
已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)在橢圓 上，過點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，拋物線在點(diǎn)處的切線分別為，且與交于點(diǎn).
(1) 求橢圓的方程；
(2) 是否存在滿足的點(diǎn)? 若存在，指出這樣的點(diǎn)有幾個(gè)（不必求出點(diǎn)的坐標(biāo)）; 若不存在，說明理由.

Answer 1

(1)  (2) 滿足條件的點(diǎn)有兩個(gè)

解析試題分析：(1) 解法1：設(shè)橢圓的方程為,
依題意:    解得:   
∴ 橢圓的方程為.
解法2：設(shè)橢圓的方程為，
根據(jù)橢圓的定義得，即， 
∵，  ∴.  
∴ 橢圓的方程為.
(2)解法1：設(shè)點(diǎn),，則，
，
∵三點(diǎn)共線,
∴.  
∴,                  
化簡得：. ① 
由,即得. 
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，即. ②
同理，拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為 .    ③        
設(shè)點(diǎn)，由②③得：，
而，則 .
代入②得 ，   
則，代入 ① 得 ，即點(diǎn)的軌跡方程為.
若 ，則點(diǎn)在橢圓上，而點(diǎn)又在直線上，
∵直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn),
∴直線與橢圓交于兩點(diǎn).
∴滿足條件 的點(diǎn)有兩個(gè).
解法2：設(shè)點(diǎn),，，
由,即得. 
∴拋物線在點(diǎn)處的切線的方程為，
即. 
∵