Question

19.如圖4，某地為了開發(fā)旅游資源，欲修建一條連接風(fēng)景點(diǎn)和居民區(qū)的公路，點(diǎn)所在的山坡面與山腳所在水平面所成的二面角為（），且，點(diǎn)到平面的距離（km）.沿山腳原有一段筆直的公路可供利用.從點(diǎn)到山腳修路的造價(jià)為萬元/km，原有公路改建費(fèi)用為萬元/km.當(dāng)山坡上公路長度為km（）時(shí)，其造價(jià)為萬元.已知，，，.

（I）在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最��；

（II） 對(duì)于（I）中得到的點(diǎn)，在上求一點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)最小.

（III）在上是否存在兩個(gè)不同的點(diǎn)、，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià)，證明你的結(jié)論.

                                         圖4

Answer 1

解：（I）如圖，，，，由三垂線定理逆定理知，，所以是山坡與所成二面角的平面角，則，

.

設(shè)，.則.

記總造價(jià)為萬元，

據(jù)題設(shè)有

當(dāng)，即時(shí)，總造價(jià)最小.

（II）設(shè)，，總造價(jià)為萬元，根據(jù)題設(shè)有

.

則，由，得.

當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是減函數(shù)；

當(dāng)時(shí)，，在內(nèi)是增函數(shù).

故當(dāng)，即（km）時(shí)總造價(jià)最小，且最小總造價(jià)為萬元.

（III）解法一：不存在這樣的點(diǎn)，.

事實(shí)上，在上任取不同的兩點(diǎn)，.為使總造價(jià)最小，顯然不能位于 與之間.故可設(shè)位于與之間，且=，，，總造價(jià)為萬元，則.類似于（I）、（II）的討論知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，同時(shí)成立時(shí)，上述兩個(gè)不等式等號(hào)同時(shí)成立，此時(shí)，，取得最小值，點(diǎn)分別與點(diǎn)重合，所以不存在這樣的點(diǎn)，使沿折線修建公路的總造價(jià)小于（II）中得到的最小總造價(jià).

解法二：同解法一得

.

當(dāng)且僅當(dāng)且，即同時(shí)成立時(shí)，取得最小值，以下同解法一.