(07年湖南卷理)(12分)
如圖4,某地為了開發(fā)旅游資源,欲修建一條連接風(fēng)景點和居民區(qū)
的公路,點
所在的山坡面與山腳所在水平面
所成的二面角為
(
),且
,點
到平面
的距離
(km).沿山腳原有一段筆直的公路
可供利用.從點
到山腳修路的造價為
萬元/km,原有公路改建費用為
萬元/km.當(dāng)山坡上公路長度為
km(
)時,其造價為
萬元.已知
,
,
,
.
(I)在上求一點
,使沿折線
修建公路的總造價最;
(II) 對于(I)中得到的點,在
上求一點
,使沿折線
修建公路的總造價最小.
(III)在上是否存在兩個不同的點
,
,使沿折線
修建公路的
總造價小于(II)中得到的最小總造價,證明你的結(jié)論.
解析:(I)如圖,,
,
,
由三垂線定理逆定理知,,所以
是
山坡與所成二面角的平面角,則
,
.
設(shè),
.則
.
記總造價為萬元,
據(jù)題設(shè)有
當(dāng),即
時,總造價
最。
(II)設(shè),
,總造價為
萬元,根據(jù)題設(shè)有
.
則,由
,得
.
當(dāng)時,
,
在
內(nèi)是減函數(shù);
當(dāng)時,
,
在
內(nèi)是增函數(shù).
故當(dāng),即
(km)時總造價
最小,且最小總造價為
萬元.
(III)解法一:不存在這樣的點,
.
事實上,在上任取不同的兩點
,
.為使總造價最小,
顯然不能位于
與
之間.故可設(shè)位于
與
之間,且
=
,
,
,總造價為
萬元,則
.類似于(I)、(II)討論知,
,
,當(dāng)且僅當(dāng)
,
同時成立時,上述兩個不等式等號同時成立,此時
,
,
取得最小值
,點
分別與點重合,所以不存在這樣的點
,使沿折線
修建公路的總造價小于(II)中得到的最小總造價.
解法二:同解法一得
.
當(dāng)且僅當(dāng)且
,即
同時成立時,
取得最小值
,以上同解法一.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖南卷理)將楊輝三角中的奇數(shù)換成1,偶數(shù)換成0,得到如圖1所示的0-1三角數(shù)表.從上
往下數(shù),第1次全行的數(shù)都為1的是第1行,第2次全行的數(shù)都為1的是第3行,…,第次全行的數(shù)都為1的是第 行;第61行中1的個數(shù)是 .
第1行 1 1
第2行 1 0 1
第3行 1 1 1 1
第4行 1 0 0 0 1
第5行 1 1 0 0 1 1
…… ………………………………
圖1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖南卷理)(12分)
如圖2,分別是矩形
的邊
的中點,
是
上的一點,將
,
分別沿
翻折成
,
,并連結(jié)
,使得平面
平面,
,且
.連結(jié)
,如圖3.
圖2
圖3
(I)證明:平面平面
;
(II)當(dāng),
,
時,求直線
和平面
所成的角.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
(07年湖南卷理)(12分)
如圖2,分別是矩形
的邊
的中點,
是
上的一點,將
,
分別沿
翻折成
,
,并連結(jié)
,使得平面
平面,
,且
.連結(jié)
,如圖3.
圖2
圖3
(I)證明:平面平面
;
(II)當(dāng),
,
時,求直線
和平面
所成的角.
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