Question

已知各項為正數(shù)的數(shù)列{a_n}滿足a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²=

1

3

（4n³-n），（n∈N^*）．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）記數(shù)列{na_n}的前n項和為T_n，試用數(shù)學(xué)歸納法證明對任意n∈N^*，都有T_n≤nS_n．

Answer 1

分析：（I）因為n≥2時，（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n-1²）=a_n²，從而求出a_n，再根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)可知求出數(shù)列的首項與公差，根據(jù)首項與公差寫出前n項和的公式即可；
（II）先根據(jù)當(dāng)n=1時，把n=1代入求值不等式成立；再假設(shè)n=k時關(guān)系成立，利用變形可得n=k+1時關(guān)系也成立，綜合得到對于任意n∈N^*時都成立．

解答：解：（Ⅰ）當(dāng)n=1時，有a₁²=

1

3

（4×1²-1）=1，又a_n＞0，所以 a₁=1（1分）
當(dāng)n≥2時，（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n²）-（a₁²+a₂²+a₃²+…+a_n-1²）=a_n²
=

1

3

（4n³-n）-

1

3

[4（n-1）³-（n-1）]=

4

3

[n³-（n-1）³]-

1

3

=

4

3

（n²+n²-n+n²-2n+1）-

1

3

=4n²-4n+1=（2n-1）²
所以a_n=2n-1，且當(dāng)n=1時，a₁=2×1-1=1  （3分）
又a_n-a _n-1=（2n-1）-[2（n-1）-1]=2，
因此數(shù)列{a_n}是以1為首項且公差為2的等差數(shù)列，
所以：S_n=n+

1

2

n×n（n-1）×2=n²，（2分）
證明：（Ⅱ）（1）當(dāng)n=1時，T₁=1×1=1，
1×S1=1×1=1，關(guān)系成立 （1分）
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，關(guān)系成立，即T_k≤kS_k，則
1×1+2×a₂+1+…+ka_k≤k³（1分） 
 那么T _k+1=1×1+2×a₂+…+ka_k+（k+1）a _k+1≤k³+（k+1）（2k+1）
=k³+2k²+3k+1＜k³+3k²+3k+1=（k+1）³，即當(dāng)n=k+1時關(guān)系也成立（3分）  
根據(jù)（1）和（2）知，關(guān)系式T_n≤nS_n對任意n∈N^*都成立  （1分）

點評：此題是一道綜合題，要求學(xué)生掌握等差數(shù)列的性質(zhì)，會求等差數(shù)列的通項公式及前n項的和公式，同時要求學(xué)生掌握數(shù)學(xué)歸納法在證明題中的運用．