Question

如圖，△ABC是某屋頂?shù)臄嗝�，CD⊥AB，橫梁AB的長(zhǎng)是豎梁CD長(zhǎng)的2倍．設(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)使y=tanA+2tanB保持最小，試確定D點(diǎn)的位置，并求y的最小值．

Answer 1

分析：首先設(shè)CD=1，則AB=2，再設(shè)AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2），然后根據(jù)直角三角形中三角函數(shù)的定義，得到tanA=

1

x

且tgB=

1

2-x

，代入y=tanA+2tanB的表達(dá)式，再進(jìn)行配湊，得到y(tǒng)=-

1

x+2+ 8 x+2 -6

，最后通過(guò)基本不等式討論分母的最小值，可得y的最小值是

3+2 2

2

．根據(jù)取等號(hào)的條件得到：當(dāng)且僅當(dāng)x=2

2

-2時(shí)，取到這個(gè)最小值，求出AD與DB的比值，從而確定D點(diǎn)的位置，問(wèn)題得到解決．

解答：解：設(shè)CD=1，則AB=2，再設(shè)AD=x，得BD=2-x，（0＜x＜2）
∵Rt△ACD中，tanA=

CD

AD

=

1

x

，Rt△BCD中，tanB=

CD

BD

=

1

2-x

∴y=tanA+2tanB=

CD

AD

+

2CD

BD

=

1

x

+

2

2-x

=

x+2

x(2-x)

=

1

-x2+2x x+2

=-

1

x+2+ 8 x+2 -6

∵x+2+

8

x+2

≥4

2

；當(dāng)且僅當(dāng)(x+2)2=8，x=2

2

-2時(shí)取等號(hào)
∴當(dāng)x=2

2

-2時(shí)，y取得最小值-

1

4 2 -6

=

3+2 2

2

此時(shí)DB=2-(2

2

-2)=4-2

2

，
∴AD：DB=

2 2 -2

4-2 2

=

1

2

答：取AD：DB=1：

2

時(shí)，y有最小值

3+2 2

2

點(diǎn)評(píng)：本題借助于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題，通過(guò)求函數(shù)的最小值，著重考查了任意角三角函數(shù)的定義、基本不等式和函數(shù)的值域與最值等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．