Question

若關于x的不等式ax²+3x-1＞0的解集是{x|

1

2

＜x＜1}，
（1）求a的值；
（2）求不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集．

Answer 1

分析：（1）根據不等式的解集，即可得到方程ax²+3x-1=0的兩個根為

1

2

和1，根據韋達定理可以求得a的值；
（2）根據（1）的結果，可以得到不等式2x²+3x-5＜0，求出方程2x²+3x-5=0的根，從而得到不等式的解集．

解答：解：（1）依題意，可知方程ax²+3x-1=0的兩個實數根為

1

2

和1，
∴

1

2

+1=-

3

a

且

1

2

×1=-

1

a

，解得a=-2，
∴a的值為-2；
（2）由（1）可知，不等式為-2x²-3x+5＞，即2x²+3x-5＜0，
∵方程2x²+3x-5=0的兩根為x₁=1，x₂=-

5

2

，
∴不等式ax²-3x+a²+1＞0的解集為{x|-

5

2

＜x＜1}．

點評：本題考查了一元二次不等式的解法，要注意一元二次不等式和一元二次方程以及一元二次函數之間的聯系，注意根與方程系數之間的關系一般運用韋達定理進行解決．屬于基礎題．