Question

已知函數(shù)f（x）=x³-2ax²+x
（1）若函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，求實數(shù)a的最大值；
（2）當(dāng)x∈（0，+∞）時，f（x）≥ax恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由函數(shù)f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，得f′（x）≥0（x＞1）恒成立，進而可轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值問題解決．
（2）f（x）≥ax即x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，可變?yōu)閍≤

x2+1

2x+1

（x＞0）恒成立，只需y求出

x2+1

2x+1

在（0，+∞）上的最小值即可．

解答：解：（1）f′（x）=3x²-4ax+1，
∵f（x）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴f′（x）=3x²-4ax+1≥0（x＞1）恒成立，即a≤

3x

4

+

1

4x

（x＞1）恒成立．
令h（x）=

3x

4

+

1

4x

，得h′(x)=

1

4

(3-

1

x2

)＞

1

4

(3-1)＞0（x＞1），
∴h（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，h（x）＞h（1）=

3

4

+

1

4

=1，
∴a≤1，故實數(shù)a的最大值為1．
（Ⅱ）由題意知x³-2ax²+x≥ax（x＞0）恒成立，即a≤

x2+1

2x+1

（x＞0）恒成立，
令r（x）=

x2+1

2x+1

（x＞0），則r′(x)=

2(x2+x-1)

(2x+1)2

，由r′（x）＜0得0＜x＜

5 -1

2

；由r′（x）＞0得x＞

5 -1

2

，
∴r（x）在（0，

5 -1

2

）上單調(diào)遞減，在(

5 -1

2

，+∞)上單調(diào)遞增，∴r(x)min=r(

5 -1

2

)=

5 -1

2

．
∴a≤

5 -1

2

，
故a的取值范圍為(-∞，

5 -1

2

)．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，對于恒成立問題常轉(zhuǎn)化為最值問題或分離參數(shù)后再求最值．