Question

【題目】已知拋物線，拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離為2．

（1）求拋物線的方程和的值；

（2）如圖，是拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)作圓的兩條切線交軸于，兩點(diǎn)，若的面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】（1），；（2）或．

【解析】

（1）根據(jù)題意，由拋物線的定義可求出，即可求出拋物線的方程，再將點(diǎn)點(diǎn)代入拋物線方程中，即可求出的值；

（2）設(shè)點(diǎn)，分類(lèi)討論當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)和當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，結(jié)合題給，得出不符合題意；則當(dāng)切線，的斜率都存在時(shí)，則，設(shè)切線方程為，根據(jù)圓的切線的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式，以及韋達(dá)定理的應(yīng)用，即可求出和的坐標(biāo)，再結(jié)合可求出，即可求出點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo).

解：（1）由拋物線的定義，易得，

∴，

∴拋物線的方程為，

由于點(diǎn)在拋物線上，

則，解得：.

（2）設(shè)點(diǎn)，

當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，，

設(shè)切線，

圓心到切線的距離為半徑長(zhǎng)，即，

∴，∴，∴，不符合題意；

同理，當(dāng)切線的斜率不存在時(shí)，，不符合題意；

當(dāng)切線，的斜率都存在時(shí)，則，

設(shè)切線方程為，

圓心到切線的距離為半徑長(zhǎng)，即，

兩邊平方整理得，

設(shè)，為方程的兩根，則，

由切線，切線，

得，，

∴

，

由于，則，

整理得：，

∴或72，

∴或.