Question

已知函數(shù)f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-2
（1）判斷曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線與曲線y=g（x）的公共點個數(shù)；
（2）若函數(shù)y=f（x）-g（x）有且僅有一個零點，求a的值；
（3）若函數(shù)y=f（x）+g（x）有兩個極值點x₁，x₂，且x₂-x₁＞ln2，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導(dǎo)函數(shù)求出函數(shù)y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程，和函數(shù)y=g（x）聯(lián)立后由判別式分析求解公共點個數(shù)；
（2）寫出函數(shù)y=f（x）-g（x）表達(dá)式，由y=0得到a=x+

2

x

+lnx，求函數(shù)h(x)=x+

2

x

+lnx的最小值既是所要求的a的值；
（3）寫出函數(shù)y=f（x）+g（x）的表達(dá)式，構(gòu)造輔助函數(shù)t（x）=-x²+ax-2+xlnx，由原函數(shù)的極值點是其導(dǎo)函數(shù)的零點分析導(dǎo)函數(shù)對應(yīng)方程根的情況，分離參數(shù)a后構(gòu)造新的輔助函數(shù)，求函數(shù)的最小值，然后分析當(dāng)a大于函數(shù)最小值的情況，進(jìn)一步求出當(dāng)x₂-x₁=ln2時的a的值，則答案可求．

解答：解：（1）由f（x）=xlnx，得f′（x）=lnx+1，
∴f′（1）=1，又f（1）=0，
∴曲線y=f（x）在點（1，f（1））處的切線方程為y=x-1，
代入y=-x²+ax-2，得x²+（1-a）x+1=0，
∴當(dāng)a＜-1或a＞3時，△=（1-a）²-4＞0，有兩個公共點；
當(dāng)a=-1或a=3時，△=（1-a）²-4=0，有一個公共點；
當(dāng)-1＜a＜3時，△=（1-a）²-4＜0，沒有公共點．
（2）y=f（x）-g（x）=x²-ax+2+xlnx，
由y=0，得a=x+

2

x

+lnx，
令h(x)=x+

2

x

+lnx，⇒h/(x)=

(x-1)(x+2)

x2

，
∴h（x）在（0，1）上遞減，在（1，+∞）上遞增，
因此，h_min（x）=h（1）=3⇒a=3．
（3）y=f（x）+g（x）=-x²+ax-2+xlnx，
令t（x）=-x²+ax-2+xlnx，
∴t′（x）=-2x+a+1+lnx，
即a=2x-1-lnx有兩個不同的根x₁，x₂，
令λ（x）=2x-1-lnx⇒λ/(x)=

2x-1

x

⇒λmin(x)=λ(

1

2

)=ln2，
且當(dāng)a＞ln2時，（x₂-x₁）隨a的增大而增大；
當(dāng)x₂-x₁=ln2時，

a=2x1-1-lnx1 a=2x2-1-lnx2

⇒x₂=4x₁，
∴x1=

ln2

3

，x2=

4ln2

3

，
此時a=

2ln2

3

-1-ln(

ln2

3

)．
即x₂-x₁＞ln2時，
a＞

2ln2

3

-1-ln(

ln2

3

)．

點評：本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點處的切線方程，考查了函數(shù)零點的求法，考查了利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值，充分利用了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，考查了學(xué)生靈活處理問題和解決問題的能力，是難度較大的題目．