Question

【題目】對于函數y=f(x),x∈D，若存在閉區(qū)間[a，b]和常數C，使得對任意x∈[a，b]都有f(x)=C，稱f(x)為“橋函數”.

（1）作出函數的圖象，并說明f(x)是否為“橋函數”？（不必證明）

（2）設f(x)定義域為R，判斷“f(x)為奇函數”是“為’橋函數’”的什么條件？給出你的結論并說明理由;

（3）若函數是“橋函數”，求常數m、n的值.

Answer 1

【答案】（1）圖象見解析，f(x)為“橋函數”；（2）充分不必要（3）或

【解析】

（1）根據絕對值定義化簡函數，再作圖，最后根據“橋函數”定義進行判斷；

（2）根據“橋函數”定義說明充分性成立，舉反例說明必要性不成立；

（3）根據“橋函數”定義列等式，再根據恒成立解m、n的值.

（1）

圖象為

存在閉區(qū)間[3，4]和常數2，使得對任意x∈[3，4]都有f(x)=2，所以f(x)為“橋函數”

（2）f(x)為R上奇函數，則，即存在閉區(qū)間[3，4]和常數0，使得對任意x∈[3，4]都有f(x)=0，所以為“橋函數”,

為“橋函數”時f(x)不一定為奇函數，如

因此“f(x)為奇函數”是“為’橋函數’”的充分不必要條件

（3）因為是“橋函數”，

所以存在閉區(qū)間[a，b]和常數C，使得對任意x∈[a，b]都有g(x)=C，

即,即

所以

即或，或