Question

【題目】設(shè)函數(shù).

（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的最大值的表達(dá)式；

（2）當(dāng)時(shí)，討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

Answer 1

【答案】(1)；(2)．

【解析】

試題分析：（1)利用題意消元，配方得到二次函數(shù)的對(duì)稱軸，討論對(duì)稱軸與所給區(qū)間上的關(guān)系進(jìn)行求解；(2)先化簡(jiǎn)得到一元二次方程，再利用分類討論思想對(duì)判別式進(jìn)行討論求解．

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)，

，對(duì)稱軸為直線.

當(dāng)即時(shí)，在上是增函數(shù)，所以.………………1分

當(dāng)即時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

且，所以.………………2分

當(dāng)即時(shí)，在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)，

且，所以.………………3分

當(dāng)即時(shí)，在上是減函數(shù)，所以.

綜上所述，.………………4分

（2）當(dāng)時(shí)，.

令，即，

解得或.………………5分

當(dāng)時(shí)，，即.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)即時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.………………6分

當(dāng)即時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.………………7分

當(dāng)即時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.………………8分

當(dāng)時(shí)，，即.

因?yàn)?/span>，

所以當(dāng)即時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)解.………………9分

當(dāng)即時(shí)，方程有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)解.………………10分

當(dāng)即時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解.………………11分

綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是4；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是3；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是2；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是1；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)是0.………………12分