Question

已知橢圓

x2

25

+

y2

9

=1，直線l：4x-5y+40=0，AB是直線l上的線段，且|AB|=2

41

，P是橢圓上一點，求△ABP面積的最小值．

Answer 1

分析：由直線l的方程和橢圓的方程易知，直線l與橢圓不相交，設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0，與橢圓方程聯(lián)立，求出直線方程，再求出直線m與直線l間的距離，即可求△ABP面積的最小值．

解答：解：由直線l的方程和橢圓的方程易知，直線l與橢圓不相交，設(shè)直線m平行于直線l，則直線m的方程可以寫成4x-5y+k=0…（1）
由

4x-5y+k=0 x2 25 + y2 9 =1

，消去y得25x²+8kx+k²-225=0…（2）
令方程（2）的根的判別式△=0，得64k²-4×25（k²-225）=0，
解之得k=25或k=-25，
容易知道k=25時，直線m與橢圓的交點到直線l的距離最近，此時直線m的方程為4x-5y+25=0，
直線m與直線l間的距離d=

|40-25|

42+52

=

15 41

41

，
所以(S△ABP)min=

1

2

|AB|d=

1

2

×2

41

×

15 41

41

=15．

點評：本題考查三角形面積的計算，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查點到直線距離公式的運(yùn)用，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．