Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的一個焦點坐標為（

3

，0），短軸一頂點與兩焦點連線夾角為120°．
（1）求橢圓的方程；
（2）設直線l與橢圓相交于不同的兩點A、B，已知點A的坐標為（-a，0），點Q（0，m）在線段AB的垂直平分線上且

.

QA

•

.

QB

≤4，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意知a=2b，c=

3

，a²=b²+c²，由此能得到橢圓方程．
（2）由A（-2，0），設B（x₁，y₁），直線l的方程為y=k（x+2），知A、B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

，由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0，由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

，設線段AB的中點為M，則M的坐標為（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

．然后再分類討論進行求解．

解答：解：（1）由題意知a=2b，c=

3

，a²=b²+c²
解得a=2，b=1，∴橢圓方程為

x2

4

+y²=1．（4分）
（2）由（1）可知A（-2，0），設B點坐標為（x₁，y₁），
直線l的方程為y=k（x+2）
于是A、B兩點的坐標滿足方程組

y=k(x+2) x2 4 +y2=1

由方程消去y并整理得：（1+4k²）x²+16k²x+16k²-4=0
由-2x₁=

16k2-4

1+4k2

得x₁=

2-8k2

1+4k2

，從而y₁=

4k

1+4k2

設線段AB的中點為M，則M的坐標為（-

8k2

1+4k2

，

2k

1+4k2

）（7分）
以下分兩種情況：
①當k=0時，點B的坐標為（2，0），線段AB的垂直平分線為y軸，
于是

.

QA

=（-2，-m），

.

QB

=（2，-m），
由

.

QA

•

.

QB

≤4
得：-2

2

≤m≤2

2

．（9分）
②當k≠0時，線段AB的垂直平分線方程為
y-

2k

1+4k2

=-

1

k

（x+

8k2

1+4k2

）
令x=0，得m=-

6k

1+4k2

由

.

QA

•

.

QB

=-2x₁-m（y₁-m）

=

-2(2-8k2)

1+4k2

+

6k

1+4k2

（

4k

1+4k2

+

6k

1+4k2

）
=

4(16k4+15k2-1)

(1+4k2)2

≤4
解得-

14

7

≤k≤

14

7

且k≠0（10分）
∴m=-

6k

1+4k2

=-

6

1 k +4k

∴當-

14

7

≤k＜0時，

1

k

+4k≤-4
當0＜k≤

14

7

時，

1

k

+4k≥4
∴-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0（12分）
綜上所述，-

3

2

≤m≤

3

2

，且m≠0．（13分）

點評：本題考查橢圓方程的求法和求m的取值范圍．解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱條件，解題時要注意分類討論思想的應用．