Question

有甲、乙兩只口袋，甲袋裝有4個白球2個黑球，乙袋裝有3個白球和4個黑球．
（Ⅰ）若從甲、乙兩袋中各任取出2球后并交換放入袋中，求甲袋內(nèi)恰好有4個白球的概率；
（Ⅱ）若從甲、乙兩袋中各任取出1球后并交換放入袋中，求甲袋中白球個數(shù)ξ的概率分布和數(shù)學期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題意甲袋內(nèi)恰好有4個白球包含三種情況：①甲袋中取2個白球，且乙袋中取2個白球，②甲袋中取1個白球，1個黑球，且乙袋中取1個白球，1個黑球，③甲、乙兩袋中各取2個黑球．每種情況分別求概率，再取和即可．
（Ⅱ）從甲、乙兩袋中各任取出1球后并交換放入袋中分種3情況：①甲袋中取1個黑球，且乙袋中取1個白球，此時ξ為5；②甲袋中取1個白球，乙袋中取1個黑球，此時ξ為3；③甲、乙兩袋中各取1個黑球或白球，此時ξ為4．三種情況分別求概率即可．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)甲袋內(nèi)恰好有4個白球為事件A，則A包含三種情況：
①甲袋中取2個白球，且乙袋中取2個白球，②甲袋中取1個白球，
1個黑球，且乙袋中取1個白球，1個黑球，③甲、乙兩袋中各取2個黑球．
∴P(A)=

C 2 4 • C 2 3 + C 1 4 • C 1 2 • C 1 3 • C 1 4 + C 2 2 • C 2 4

C 2 6 • C 2 7

=

8

21

．
（Ⅱ）P(ξ=3)=

C 1 4 • C 1 4

C 1 6 • C 1 7

=

8

21

P(ξ=4)=

C 1 2 • C 1 4 + C 1 4 C 1 3

C 1 6 • C 1 7

=

10

21

P(ξ=5)=

C 1 2 • C 1 3 _1

C 1 6 • C 1 7

=

3

21

，
分布列
Eξ=3×

8

21

+4×

10

21

+5×

3

21

=3.762．

點評：本題考查古典概型、互斥事件的概率、離散型隨機變量的分布列和期望，解題的關(guān)鍵是能夠正確分類．