Question

（2012•江西）已知三點O（0，0），A（-2，1），B（2，1），曲線C上任意一點M（x，y）滿足|

MA

+

MB

|=

OM

•（

OA

+

OB

）+2．
（1）求曲線C的方程；
（2）動點Q（x₀，y₀）（-2＜x₀＜2）在曲線C上，曲線C在點Q處的切線為l向：是否存在定點P（0，t）（t＜0），使得l與PA，PB都不相交，交點分別為D，E，且△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)？若存在，求t的值．若不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）用坐標表示

MA

，

MB

，從而可得

MA

+

MB

，可求|

MA

+

MB

|，利用向量的數(shù)量積，結(jié)合M（x，y）滿足|

MA

+

MB

|=

OM

•（

OA

+

OB

）+2，可得曲線C的方程；
（2）假設(shè)存在點P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y=

t-1

2

x+t，直線PB的方程是y=

1-t

2

x+t
分類討論：①當(dāng)-1＜t＜0時，l∥PA，不符合題意；②當(dāng)t≤-1時，

t-1

2

≤ -1＜

x0

2

，

1-t

2

≥1＞

x0

2

，分別聯(lián)立方程組，解得D，E的橫坐標，進而可得△QAB與△PDE的面積之比，利用其為常數(shù)，即可求得結(jié)論．

解答：解：（1）由

MA

=（-2-x，1-y），

MB

=（2-x，1-y）可得

MA

+

MB

=（-2x，2-2y），
∴|

MA

+

MB

|=

4x2+(2-2y)2

，

OM

•（

OA

+

OB

）+2=（x，y）•（0，2）+2=2y+2．
由題意可得

4x2+(2-2y)2

=2y+2，化簡可得 x²=4y．
（2）假設(shè)存在點P（0，t）（t＜0），滿足條件，則直線PA的方程是y=

t-1

2

x+t，直線PB的方程是y=

1-t

2

x+t
∵-2＜x₀＜2，∴-1＜

x0

2

＜1
①當(dāng)-1＜t＜0時，-1＜

t-1

2

＜-

1

2

，存在x₀∈（-2，2），使得

x0

2

=

t-1

2

∴l(xiāng)∥PA，∴當(dāng)-1＜t＜0時，不符合題意；
②當(dāng)t≤-1時，

t-1

2

≤ -1＜

x0

2

，

1-t

2

≥1＞

x0

2

，
∴l(xiāng)與直線PA，PB一定相交，分別聯(lián)立方程組

y= t-1 2 x+t y= x0 2 x- x02 4

，

y= 1-t 2 x+t y= x0 2 x- x02 4

，解得D，E的橫坐標分別是xD=

x02+4t

2(x0+1-t)

，xE=

x02+4t

2(x0+t-1)

∴xE-xD= (1-t)

x02+4t

x02 -(t-1)2

∵|FP|=-

x02

4

-t
∴S△PDE=

1

2

|FP||xE-xD|=

t-1

8

×

(x02+4t)2

x02 -(t-1)2

∵S△QAB=

4-x02

2

∴

S△QAB

S△PDE

=

4

1-t

×

x04-[4+(t-1)2]x02+4(t-1)2

x04+8tx02+16t2

∵x₀∈（-2，2），△QAB與△PDE的面積之比是常數(shù)
∴

-4-(t-1)2=8t 4(t-1)2=16t2

，解得t=-1，
∴△QAB與△PDE的面積之比是2．

點評：本題考查軌跡方程，考查向量知識的運用，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查三角形面積的計算，同時考查學(xué)生的探究能力，屬于難題．