Question

（2012•江西）已知函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調(diào)遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0．
（1）求a取值范圍；
（2）設g（x）=f（x）-f′（x），求g（x）在[0，1]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）由題意，函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調(diào)遞減且滿足f（0）=1，f（1）=0，可求出函數(shù)的導數(shù)，將函數(shù)在[0，1]上單調(diào)遞減轉(zhuǎn)化為導數(shù)在[0，1]上的函數(shù)值恒小于等于0，再結(jié)合f（0）=1，f（1）=0這兩個方程即可求得a取值范圍；
（2）由題設條件，先給出g（x）=f（x）-f′（x）的解析式，求出導函數(shù)，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，由于參數(shù)a的影響，函數(shù)在[0，1]上的單調(diào)性不同，結(jié)合（1）的結(jié)論及g′（x）可得．
（i）當a=0時；（ii）當a=1時；（iii）當0＜a＜1時，分三類對函數(shù)的單調(diào)性進行討論，確定并求出函數(shù)的最值

解答：解：（1）由f（0）=1，f（1）=0得c=1，a+b=-1，則f（x）=[ax²-（a+1）x+1]e^x，
∴f′（x）=[ax²+（a-1）x-a]e^x，
由題意函數(shù)f（x）=（ax²+bx+c）e^x在[0，1]上單調(diào)遞減可得對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）＜0
當a＞0時，因為二次函數(shù)y=ax²+（a-1）x-a圖象開口向上，而f′（0）=-a＜0，所以只需要f′（1）=（a-1）e＜0，即a＜1，故有0＜a＜1；
當a=1時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=（x²-1）e^x＜0，函數(shù)符合條件；
當a=0時，對于任意的x∈（0，1），都有f′（x）=-xe^x＜0，函數(shù)符合條件；
當a＜0時，因f′（0）=-a＞0函數(shù)不符合條件；
綜上知，a的取值范圍是0≤a≤1
（2）因為 g（x）=f（x）-f′（x）=（ax²-（a+1）x+1）e^x-[ax²+（a-1）x-a]e^x=（-2ax+a+1）e^x，g′（x）=（-2ax-a+1）e^x，
（i）當a=0時，g′（x）=e^x＞0，g（x）在[0，1]上的最小值是g（0）=1，最大值是g（1）=e
（ii）當a=1時，對于任意x∈（0，1）有g(shù)′（x）=-2xe^x＜0，則有g(shù)（x）在[0，1]上的最小值是g（1）=0，最大值是g（0）=2；
（iii）當0＜a＜1時，由g′（x）=0得x=

1-a

2a

＞0，
①若

1-a

2a

≥1，即0＜a≤

1

3

時，g（x）在[0，1]上是增函數(shù)，所以g（x）在[0，1]上最大值是g（1）=（1-a）e，最小值是g（0）=1+a；
②若

1-a

2a

＜1，即

1

3

＜a＜1時，g（x）在x=

1-a

2a

取得最大值g（

1-a

2a

）=2ae

1-a

2a

，在x=0或x=1時取到最小值，
而g（0）=1+a，g（1）=（1-a）e，則
當

1

3

＜a≤

e-1

e+1

時，g（x）在x=0取到最小值g（0）=1+a，
當

e-1

e+1

≤a＜1時，g（x）在x=1取到最小值g（1）=（1-a）e

點評：本題考查利用導數(shù)求函數(shù)在閉區(qū)間上的最值，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，此類題解題步驟一般是求導，研究單調(diào)性，確定最值，求最值，第一掌上明珠解題的關(guān)鍵是把函數(shù)在閉區(qū)間上遞減轉(zhuǎn)化為函數(shù)的導數(shù)在此區(qū)間上小于等于0恒成立，將單調(diào)遞減的問題轉(zhuǎn)化為不等式恒成立是此類題常用的轉(zhuǎn)化思路，第二小題求含有參數(shù)的函數(shù)在某個區(qū)間上的最值，解題的關(guān)鍵是分類討論確定出函數(shù)的最值，本題考查了轉(zhuǎn)化的思想，推理判斷的能力，計算量大，難度較大，極易因為判斷不準轉(zhuǎn)化出錯或計算出錯，常作為高考的壓軸題．