Question

已知(x2-

1

2x

)n（n∈N^*）的展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比是7：3．
（Ⅰ）求展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和；
（Ⅱ）求展開式中常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比是7：3，寫出這兩項(xiàng)的系數(shù)的表示式，兩者求比，得到n的值，給x賦值得到各項(xiàng)的系數(shù)之和．
（II）寫出二項(xiàng)式的展開式，整理成最簡(jiǎn)的結(jié)果，使得x的指數(shù)等于0，求出第幾項(xiàng)，寫出這個(gè)常數(shù)項(xiàng)．

解答：解：（I）∵展開式中第四項(xiàng)的系數(shù)與第二項(xiàng)的系數(shù)的比是7：3，
∴

C

3 n

(-

1

2

)3 ：

C

1 n

(-

1

2

)1=7：3，
∴n=9，
∴取x=1得到各項(xiàng)系數(shù)和為(1-

1

2

)2=

1

512

（II）∵這個(gè)二項(xiàng)式的展開式是

C

r n

(x2)n-r(-

1

2

x)r
要求常數(shù)項(xiàng)，只要使得x的指數(shù)等于0，
∴常數(shù)項(xiàng)

21

16

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的性質(zhì)，是一個(gè)基礎(chǔ)題，這種題目一般不會(huì)單獨(dú)出現(xiàn)，通常與其他的知識(shí)點(diǎn)作為綜合題目出現(xiàn)，它只是題目的一個(gè)小環(huán)節(jié)，本題解決的關(guān)鍵是寫出正確的通項(xiàng)．