Question

如圖，在正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，棱長為a，M、N分別為A₁B和AC上的點，A₁M=AN=

2 a

3

，則MN與平面BB₁C₁C的位置關系是（　　）

• A、相交
• B、平行
• C、垂直
• D、不能確定

Answer 1

分析：由于CD⊥平面B₁BCC₁，所以

CD

是平面B₁BCC₁的法向量，因此只需證明向量

MN

與

CD

垂直即可，而

CD

與

B1B

和

B1C1

均垂直，而

B1B

和

B1C1

又可以作為一組基底表示向量

MN

，因此可以證明．

解答：解：∵正方體棱長為a，A₁M=AN=

2 a

3

，
∴

MB

=

2

3

A1B

，

CN

=

2

3

CA

，
∴

MN

=

MB

+

BC

+

CN

=

2

3

A1B

+

BC

+

2

3

CA

=

2

3

（

A1B1

+

B1B

）+

BC

+

2

3

（

CD

+

DA

）
=

2

3

B1B

+

1

3

B1C1

．
又∵

CD

是平面B₁BCC₁的法向量，
且

MN

•

CD

=（

2

3

B1B

+

1

3

B1C1

）•

CD

=0，
∴

MN

⊥

CD

，
∴MN∥平面B₁BCC₁．
故選B

點評：本題考查線面平行的判定，在適當條件下，可以用向量法證明，只需證明該直線的一個方向向量與該平面的一個法向量垂直即可．要注意的是這兩個向量必須用同一組基底來表示．