Question

（1）求證：2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：①當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除；②假設(shè)n=k時(shí)，2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，由此導(dǎo)出當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4能被25整除即可．
（2））由==，能夠證明=．
解答：證明：（1）用數(shù)學(xué)歸納法證明：
①當(dāng)n=1時(shí)，2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4=8×3+5-4=25，能被25整除，成立；
②假設(shè)n=k時(shí)，成立，即2^k+2•3^k+5k-4能被25整除，
則當(dāng)n=k+1時(shí)，2^k+3•3^k+1+5（k+1）-4=6（2^k+2•3^k）+5k+5-4
=（2^k+2•3^k+5k-4）+5（2^k+2•3^k）+5
=（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5，
∵2^k+2•3^k+5k-4能被5整除，20•6^k+5能被25整除，
∴（2^k+2•3^k+5k-4）+20•6^k+5能被25整除，即n=k+1時(shí)成立．
由①②知2ⁿ⁺²•3ⁿ+5n-4能被25整除．
（2）∵===，
∴
=[-++…+（-1）ⁿC]，
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，-++…+（-1）ⁿC
=（）-（）
==1．
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，-++…+（-1）ⁿC
=（++…+）+（++…+C
==1．
∴[-++…+（-1）ⁿC]=．
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)分析組合數(shù)性質(zhì)，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．