Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)為1，前n項(xiàng)和為S_n，且滿足a_n+1=3S_n，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}滿足b_n=log₄a_n．
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）當(dāng)n≥2時(shí)，試比較b₁+b₂+…+b_n與

1

2

(n-1)2的大小，并說明理由．

Answer 1

分析：（I）根據(jù)a_n+1=3S_n得a_n+2=3S_n+1兩式相減整理可得得

an+2

an+1

=4進(jìn)而可判斷出數(shù)列a₂，a₃，a₄，…，a_n，是以4為公比的等比數(shù)列．進(jìn)而根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求得當(dāng)n≥2時(shí)的通項(xiàng)公式，最后綜合可得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（II）把（1）中的代入b_n=log₄a_n求得b_n，進(jìn)而對(duì)b₁+b₂+b₃+…+b_n進(jìn)行分組求和求得b₁+b₂+b₃+…+b_n=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]
進(jìn)而根據(jù)

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

證明原式．

解答：解：（I）由a_n+1=3S_n（1），得a_n+2=3S_n+1（2），
由（2）-（1）得a_n+1-a_n+1=3a_n+1，
整理，得

an+2

an+1

=4，n∈N^*．
所以，數(shù)列a₂，a₃，a₄，…，a_n，是以4為公比的等比數(shù)列．
其中，a₂=3S₁=3a₁=3，
所以an=

1 n=1 3•4n-2 n≥2，n∈N*

；
（II）由題意，bn=

0 n=1 log43+(n-2) n≥2，n∈N*

．
當(dāng)n≥2時(shí)，b₁+b₂+b₃+…+b_n
=0+（log₄3+0）+（log₄3+1）+…+（log₄3+n-2）
=(n-1)log43+

1

2

(n-2)(n-1)
=

n-1

2

[2log43-1+(n-1)]
=

n-1

2

[log4

9

4

+(n-1)]＞

(n-1)2

2

，
所以b1+b2+b3++bn＞

(n-1)2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了數(shù)列的求和問題．求得數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)鍵．