Question

一個(gè)函數(shù)f(x),如果對(duì)任意一個(gè)三角形,只要它的三邊長(zhǎng)a,b,c都在f(x)的定義域內(nèi),就有f(a),f(b),f(c)也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),則稱(chēng)f(x)為“保三角形函數(shù)”.

(1)判斷f₁(x)=,f₂(x)=x,f₃(x)=x²中,哪些是“保三角形函數(shù)”,哪些不是,并說(shuō)明理由;

(2)如果g(x)是定義在R上的周期函數(shù),且值域?yàn)?0,+∞),證明g(x)不是“保三角形函數(shù)”;

(3)若函數(shù)F(x)=sinx,x∈(0,A)是“保三角形函數(shù)”,求A的最大值.

(可以利用公式sinx+siny=2sincos)

Answer 1

(1)解:f₁(x),f₂(x)是“保三角形函數(shù)”,f₃(x)不是“保三角形函數(shù)”.

任給三角形,設(shè)它的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,則a+b＞c,不妨假設(shè)a≤c,b≤c,

由于+＞＞＞0,所以f₁(x),f₂(x)是“保三角形函數(shù)”.

對(duì)于f₃(x),3,3,5可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),但3²+3²＜5²,所以不存在三角形以3²,3²,5²為三邊長(zhǎng),故f₃(x)不是“保三角形函數(shù)”.

(2)證明:設(shè)T＞0為g(x)的一個(gè)周期,由于其值域?yàn)?0,+∞),所以,存在n＞m＞0,使得g(m)=1,g(n)=2.

取正整數(shù)λ＞,可知λT+m,λT+m,n這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),但g(λT+m)=1,g(λT+m)=1,g(n)=2不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

故g(x)不是“保三角形函數(shù)”.

(3)解:A的最大值為.

一方面,若A＞,下證F(x)不是“保三角形函數(shù)”.

取,,∈(0,A),顯然這三個(gè)數(shù)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),但sin=1,sin=,sin=不能作為任何一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng),故F(x)不是“保三角形函數(shù)”.

另一方面,以下證明A=時(shí),F(x)是“保三角形函數(shù)”.

對(duì)任意三角形的三邊a,b,c,若a,b,c∈(0,),則分類(lèi)討論如下:

①a+b+c≥2π,

此時(shí)a≥2π-b-c＞2π=,同理,b,c＞,

∴a,b,c∈(,),故sina,sinb,sinc∈(,1］,

sina+sinb＞+=1≥sinc.

同理可證其余兩式.

∴sina,sinb,sinc可作為某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).

②a+b+c＜2π.

此時(shí),＜π,可得如下兩種情況:

≤時(shí),由于a+b＞c,∴0＜＜≤.

由sinx在(0,］上的單調(diào)性可得0＜sin＜sin≤1;

＞時(shí),0＜＜π＜,同樣,由sinx在［0,］上的單調(diào)性可得0＜sin＜sin＜1.

總之,0＜sin＜sin≤1.

又由|a-b|＜c＜及余弦函數(shù)在(0,π)上單調(diào)遞減,得cos=cos＞cos＞cos＞0,

∴sina+sinb=2sincos＞2sincos=sinc.

同理可證其余兩式,所以sina,sinb,sinc也是某個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).故A=時(shí),F(x)是“保三角形函數(shù)”.

綜上,A的最大值為.

說(shuō)明:其他正確解法按相應(yīng)步驟給分.