Question

【題目】圓M：x2+y2﹣2y=24，直線l：x+y=11，l上一點A的橫坐標為a，過點A作圓M的兩條切線l1 ， l2 ， 切點為B，C．

（1）當a=0時，求直線l1 ， l2的方程；
（2）是否存在點A，使得 =﹣2？若存在，求出點A的坐標，若不存在，請說明理由．
（3）求證當點A在直線l運動時，直線BC過定點P0 ．
（附加題）問：第（3）問的逆命題是否成立？

Answer 1

【答案】
（1）解：圓M：x2+（y﹣1）2=25，圓心M（0，1），半徑r=5，A（0，11），

設(shè)切線的方程為y=k x+11，圓心距d= =5，

∴k=± ，所求直線l1，l2的方程為y=± x+11

（2）解：當l1⊥l2時，四邊形MCAB為正方形，

∴|AM|+ |MB|=5

設(shè)A（a，11﹣a），M（0，1）則 =

a2﹣10a+25=0∴a=5

設(shè) =2θ，則

=|AB|2（1﹣2sin2θ），

又sinθ= ，故 =（AM2﹣25）（1﹣ ）=AM2+ ﹣75，

又圓心M到直線l的距離是

∴AM2≥50， ≥50+ ﹣75=0，故點A不存在．

（3）解：設(shè)A（a，b），則a+b=1 ①；

已AM為直徑的圓與圓M交于B，C，AB，AC為切線；

以AM為直徑的圓方程為：x（x﹣a）+（y﹣1）（y﹣b）=0 ②

圓M：x2+y2﹣2y=24 ③，

兩式②③相減得公共弦BC方程：24+2y﹣ax﹣（b+1）y+b=0，代入①化簡：

y﹣ =﹣ （x﹣ ），故知P0 （ ， ）．

附加題：

首先：第（3）的逆命題是：過定點P0 （ ， ）的直線交圓x2+y2﹣2y=24 于B．C兩點，分別以B，C為切點作圓M的切線l1，l2 相交于A點，則A在x+y=11上．

證明：設(shè)A（a，b），已AM為直徑的圓與圓M交于B，C，易證AB，AC為切線；

以AM為直徑的圓方程為：x（x﹣a）+（y﹣1）（y﹣b）=0

圓M：x2+y2﹣2y=24，

兩式相減得公共弦BC方程：24+2y﹣ax﹣（b+1）y+b=0，

由于公共弦BC所在直線過定點P0 （ ， ），代入可得a+b=11，得證

【解析】（1）利用點到直線的距離公式，可直接求出斜率；（2）當l1⊥l2時，四邊形MCAB為正方形，求出a的值；設(shè) =2θ，則 =|AB|2（1﹣2sin2θ），故 =（AM2﹣25）（1﹣ ）=AM2+ ﹣75，又圓心M到直線l的距離是 ∴AM2≥50， ≥50+ ﹣75=0，故點A不存在．（3）利用兩圓方程相減，求出公共弦直線方程，找出定點．