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        1. 【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1 , 且AA1=AB=2.

          (1)求證:AB⊥BC;
          (2)若直線AC與平面A1BC所成的角為 ,求銳二面角A﹣A1C﹣B的大。

          【答案】
          (1)證明:如右圖,取A1B的中點(diǎn)D,連接AD,

          因AA1=AB,則AD⊥A1B

          由平面A1BC⊥側(cè)面A1ABB1,

          且平面A1BC∩側(cè)面A1ABB1=A1B,

          得AD⊥平面A1BC,又BC平面A1BC,

          所以AD⊥BC.

          因?yàn)槿庵鵄BC﹣﹣﹣A1B1C1是直三棱柱,

          則AA1⊥底面ABC,

          所以AA1⊥BC.

          又AA1∩AD=A,從而BC⊥側(cè)面A1ABB1,

          又AB側(cè)面A1ABB1,故AB⊥BC


          (2)解:連接CD,由(1)可知AD⊥平面A1BC,

          則CD是AC在平面A1BC內(nèi)的射影

          ∴∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角,則

          在等腰直角△A1AB中,AA1=AB=2,且點(diǎn)D是A1B中點(diǎn)

          ,且 ,

          過點(diǎn)A作AE⊥A1C于點(diǎn)E,連DE

          由(1)知AD⊥平面A1BC,則AD⊥A1C,且AE∩AD=A

          ∴∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個(gè)平面角,

          且直角△A1AC中:

          ,

          ,

          且二面角A﹣A1C﹣B為銳二面角

          ,即二面角A﹣A1C﹣B的大小為


          【解析】(1)取A1B的中點(diǎn)D,連接AD,由已知條件推導(dǎo)出AD⊥平面A1BC,從而AD⊥BC,由線面垂直得AA1⊥BC.由此能證明AB⊥BC.(2)連接CD,由已知條件得∠ACD即為直線AC與平面A1BC所成的角,∠AED即為二面角A﹣A1C﹣B的一個(gè)平面角,由此能求出二面角A﹣A1C﹣B的大。
          【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解空間中直線與直線之間的位置關(guān)系的相關(guān)知識,掌握相交直線:同一平面內(nèi),有且只有一個(gè)公共點(diǎn);平行直線:同一平面內(nèi),沒有公共點(diǎn);異面直線: 不同在任何一個(gè)平面內(nèi),沒有公共點(diǎn).

          練習(xí)冊系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】△ABC中A(3,﹣1),AB邊上的中線CM所在直線方程為6x+10y﹣59=0,∠B的平分線方程BT為x﹣4y+10=0.
          (1)求頂點(diǎn)B的坐標(biāo);
          (2)求直線BC的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知菱形ABCD的頂點(diǎn)A,C在橢圓x2+3y2=4上,對角線BD所在直線的斜率為1.
          (1)當(dāng)直線BD過點(diǎn)(0,1)時(shí),求直線AC的方程;
          (2)當(dāng)∠ABC=60°時(shí),求菱形ABCD面積的最大值.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和且S4=S3+3a3 , a2=9.
          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式
          (2)設(shè)bn=(2n﹣1)an , 求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】上面圖給出的是計(jì)算1+2+4+…+22017的值的一個(gè)程序框圖,則其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的是(
          A.i=2017?
          B.i≥2017?
          C.i≥2018?
          D.i≤2018?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】圓M:x2+y2﹣2y=24,直線l:x+y=11,l上一點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a,過點(diǎn)A作圓M的兩條切線l1 , l2 , 切點(diǎn)為B,C.

          (1)當(dāng)a=0時(shí),求直線l1 , l2的方程;
          (2)是否存在點(diǎn)A,使得 =﹣2?若存在,求出點(diǎn)A的坐標(biāo),若不存在,請說明理由.
          (3)求證當(dāng)點(diǎn)A在直線l運(yùn)動時(shí),直線BC過定點(diǎn)P0
          (附加題)問:第(3)問的逆命題是否成立?

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知函數(shù)f(x)=
          (1)判斷函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)和[1,+∞)上的單調(diào)性(不必證明);
          (2)當(dāng)0<a<b,且f(a)=f(b)時(shí),求 的值;
          (3)若存在實(shí)數(shù)a,b(1<a<b)使得x∈[a,b]時(shí),f(x)的取值范圍是[ma,mb](m≠0),求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】如圖,在三棱錐V﹣ABC中,平面VAB⊥平面ABC,△VAB為等邊三角形,AC⊥BC且AC=BC= ,O,M分別為AB,VA的中點(diǎn).
          (1)求證:VB∥平面MOC;
          (2)求證:平面MOC⊥平面VAB
          (3)求三棱錐V﹣ABC的體積.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          【題目】已知橢圓E: =1(a>b>0)的離心率為 ,過焦點(diǎn)垂直與x軸的直線被橢圓E截得的線段長為
          (1)求橢圓E的方程;
          (2)斜率為k的直線l經(jīng)過原點(diǎn),與橢圓E相交于不同的兩點(diǎn)M,N,判斷并說明在橢圓E上是否存在點(diǎn)P,使得△PMN的面積為

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          同步練習(xí)冊答案