Question

2013年4月20日8時(shí)02分四川省雅安市蘆山縣（北緯30.3，東經(jīng)103.0）發(fā)生7.0級(jí)地震．一方有難，八方支援，重慶眾多醫(yī)務(wù)工作者和志愿者加入了抗災(zāi)救援行動(dòng)．其中重慶某醫(yī)院外科派出由5名骨干醫(yī)生組成的救援小組，奔赴受災(zāi)第一線參與救援．現(xiàn)將這5名醫(yī)生分別隨機(jī)分配到受災(zāi)最嚴(yán)重的蘆山、寶山、天全三縣中的某一個(gè)．
（1）求每個(gè)縣至少分配到一名醫(yī)生的概率；
（2）若將隨機(jī)分配到蘆山縣的人數(shù)記為ξ，求隨機(jī)變量ξ的分布列，期望和方差．

Answer 1

分析：（1）每一位醫(yī)生都有3種分配方法，因此5名醫(yī)生共有3⁵種分配方法．設(shè)A表示事件“每個(gè)縣至少分配到一名醫(yī)生”，則A包括以下兩種分配方案：1，1，3；2，2，1．
其中1，1，3型共有

C 3 5 C 1 2 C 1 1 A 3 3

2!

，即

C

3 5

A

3 3

分配方法；2，2，1型共有

C 1 5 C 2 4 C 2 2 A 3 3

2!

方法．利用古典概型的概率計(jì)算公式即可得出．
（2）因?yàn)槊恳粸獒t(yī)生分配到三個(gè)地方的概率是相同的，因此可得：ξ～B(5，

1

3

)，故P(ξ=i)=

C

i 5

(

1

3

)i(

2

3

)5-i，(i=0，1，2，…，5)，再利用Eξ=np，Dξ=np（1-p）即可得出所求．

解答：解：（1）每一位醫(yī)生都有3種分配方法，因此5名醫(yī)生共有3⁵種分配方法．設(shè)A表示事件“每個(gè)縣至少分配到一名醫(yī)生”，則A包括以下兩種分配方案：1，1，3；2，2，1．其中1，1，3型共有

C 3 5 C 1 2 C 1 1 A 3 3

2!

，即

C

3 5

A

3 3

分配方法；2，2，1型共有

C 1 5 C 2 4 C 2 2 A 3 3

2!

方法．
∴事件A的概率P=

C 3 5 A 3 3 + C 1 5 C 2 4 A 2 2 A 3 3

35

=

50

81

（2）因?yàn)槊恳粸獒t(yī)生分配到三個(gè)地方的概率是相同的，因此可得：ξ～B(5，

1

3

)，故P(ξ=i)=

C

i 5

(

1

3

)i(

2

3

)5-i，(i=0，1，2，…，5)
故ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3	4	5
P	32 243	80 243	80 243	40 243	10 243	1 243

∴Eξ=np=5×

1

3

=

5

3

，Dξ=np(1-p)=5×

1

3

×

2

3

=

10

9

點(diǎn)評(píng)：本題考查了含有“均分”問(wèn)題的古典概型的概率計(jì)算、二項(xiàng)分布的數(shù)學(xué)期望及其方差的計(jì)算，屬于難題．