Question

如圖，矩形ABCD和直角梯形BEFC所在平面互相垂直，∠BCF-90°，BE∥CF，CE⊥EF，AD=

3

，EF=2．
（1）求異面直線AD與EF所成的角；
（2）當(dāng)AB的長為何值時(shí)，二面角A-EF-C的大小為45°？

Answer 1

如圖，以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn)，以CB，CF和CD分別為作x軸，y軸和z軸，建立空間直角坐標(biāo)系
設(shè)AB=a，BE=b，CF=c，（b＜c）
則C(0，0，0)，A(

3

，0，a)，B(

3

，0，0)，E(

3

，b，0)，
F（0，c，0），D（0，0，a）（2分）
（I）

DA

=(

3

，0，0)，

CB

=(

3

，0，0)，

FE

=(

3

，b-c，0)，
由|

FE

|=2，得3+（b-c）²=4，∴b-c=-1．
所以

FE

=(

3

，-1，0)．
所以cos＜

DA

，

FE

＞=

DA • FE

| DA |•| FE |

=

3

3 ×2

=

3

2

，
所以異面直線AD與EF成30°
（II）設(shè)

n

=(1，y，z)為平面AEF的法向量，則

n

•

AE

=0，

n

•

EF

=0，
結(jié)合|

BC

|2+|

BE

|2=|

CF

|2-|

EF

|2，
解得

n

=(1，

3

，

3 3

a

)．（8分）
又因?yàn)锽A⊥平面BEFC，

BA

=(0，0，a)，
所以cos＜

n

，

BA

＞

n • BA

| n |•| BA |

=

3 3 a

a 4a2+27

=

2

2

，
得到a=

3 3

2

．
所以當(dāng)AB為

3 3

2

時(shí)，二面角A-EF-C的大小為45°．