Question

如圖，已知△AOB，∠AOB=

π

2

，∠BAO=

π

6

，AB=4，D為線段AB的中點(diǎn)．若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的．記二面角B-AO-C的大小為θ．
（1）當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí)，求θ的值；
（2）當(dāng)θ∈[

π

2

，

2π

3

]時(shí)，求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）以O(shè)點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OB，OA所在直線分別為y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，把C點(diǎn)的坐標(biāo)用含有θ的三角式表示，求出平面COD與平面AOB的法向量，由法向量的數(shù)量積等于0即可求得θ的值；
（2）由（1）得到當(dāng)θ=

π

2

時(shí)的二面角C-OD-B的余弦值，當(dāng)θ∈（

π

2

，

2π

3

]時(shí)，把二面角的余弦值轉(zhuǎn)化為它們的兩個(gè)半平面的法向量所成角的余弦值，最后轉(zhuǎn)化為角θ的正切值求解．

解答：解：（1）如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸，OB，OA所在的直線分別為y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，
則O（0，0，0），A（0，0，2

3

），B（0，2，0），
D （0，1，

3

），C （2sinθ，2cosθ，0）．

OD

=(0，1，

3

)，

OC

=(2sinθ，2cosθ，0)．
設(shè)

n1

=（x，y，z）為平面COD的一個(gè)法向量，
由

n1 • OD =0 n1 • OC =0

得

xsinθ+ycosθ=0 y+ 3 z=0

取z=sinθ，得：x=

3

cosθ，y=-

3

sinθ．
則

n1

=（

3

cosθ，-

3

sinθ，sinθ）．
因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為

n2

=（1，0，0），
由平面COD⊥平面AOB得

n1

•

n2

=0，
所以cosθ=0，即θ=

π

2

．  
（2）設(shè)二面角C-OD-B的大小為α，
由（1）得，當(dāng)θ=

π

2

時(shí)，cosα=0；
當(dāng)θ∈（

π

2

，

2π

3

]時(shí)，tanθ≤-

3

，
cosα=

n1 • n2

| n1 || n2 |

=

3 cosθ

3+sin2θ

=-

3

3sec2θ+tan2θ

=-

3

4tan2θ+3

，
∵tanθ≤-

3

，∴4tan²θ+3≥15，
則-

5

5

≤-

3

4tan2θ+3

＜0．
故-

5

5

≤cosα＜0．
綜上，二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-

5

5

，0]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了面面垂直的判定，考查了二面角的平面角，解答此題的關(guān)鍵是明確二面角的平面角與它們的法向量所成角的關(guān)系，此題是中檔題．