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        1. (2011•江西模擬)如圖,已知△AOB,∠AOB=
          π
          2
          ,∠BAO=θ,AB=4,D為線段AB的中點(diǎn).若△AOC是△AOB繞直線AO旋轉(zhuǎn)而成的.記二面角B-AO-C的大小為
          π
          2

          (Ⅰ) 當(dāng)平面COD⊥平面AOB時(shí),求θ的值;
          (Ⅱ) 當(dāng)
          π
          2
          ∈[
          3
          ,θ]時(shí),求二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍.
          分析:(I)建立間直角坐標(biāo)系O-xyz,由
          n1
          OD
          =0
          n1
          OC
          =0
          求出平面COD的一個(gè)法向量,又平面AOB的一個(gè)法向量為
          n2
          =(1,0,0),由平面COD⊥平面AOB得
          n1
          n2
          =0,求出θ的值.
          (II)由(Ⅰ)得當(dāng)θ=
          π
          2
          時(shí),cosα=0;當(dāng)θ∈(
          π
          2
          ,
          3
          ]時(shí),tanθ≤-
          3
          ,利用向量的數(shù)量積公式將cosα用θ的三角函數(shù)表示,據(jù)tanθ≤-
          3
          ,求出cosα的范圍.
          解答:解:(Ⅰ) 如圖,以O(shè)為原點(diǎn),在平面OBC內(nèi)垂直于OB的直線為x軸,OB,OA所在的直線分別為y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,
          則A (0,0,2
          3
          ),B (0,2,0),
          D (0,1,
          3
          ),C (2sinθ,2cosθ,0).
          設(shè)
          n1
          =(x,y,z)為,
          n1
          OD
          =0
          n1
          OC
          =0
          xsinθ+ycosθ=0
          y+
          3
          z=0

          取z=sinθ,
          n1
          =(
          3
          cosθ,-
          3
          sinθ,sinθ).
          因?yàn)槠矫鍭OB的一個(gè)法向量為
          n2
          =(1,0,0),
          由平面COD⊥平面AOB得
          n1
          n2
          =0,
          所以cosθ=0,即θ=
          π
          2
          .         …(6分)
          (Ⅱ) 設(shè)二面角C-OD-B的大小為α,
          由(Ⅰ)得當(dāng)θ=
          π
          2
          時(shí),cosα=0;
          當(dāng)θ∈(
          π
          2
          3
          ]時(shí),
          tanθ≤-
          3

          cosα=
          n1
          n2
          |
          n1
          ||
          n2
          |
          =
          3
          cosθ
          3+sin2θ
          =-
          3
          4tan2θ+3
          ,
          故-
          5
          5
          ≤cosα<0.
          綜上,二面角C-OD-B的余弦值的取值范圍為[-
          5
          5
          ,0].  …(13分)
          點(diǎn)評(píng):解決二面角的大小問題,一般借助的工具是通過建立空間直角坐標(biāo)系,將二面角的問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)平面的法向量所成的角的問題,通過向量的數(shù)量積來解決.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江西模擬)在△ABC中,內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c,若a2-b2=
          3
          bc
          ,sinC=2
          3
          sinB
          ,則A=( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江西模擬)已知數(shù)列{an},{bn}分別是等差、等比數(shù)列,且a1=b1=1,a2=b2,a4=b3≠b4
          ①求數(shù)列{an},{bn}的通項(xiàng)公式;
          ②設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和,求{
          1
          Sn
          }的前n項(xiàng)和Tn;
          ③設(shè)Cn=
          anbn
          Sn+1
          (n∈N),Rn=C1+C2+…+Cn,求Rn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江西模擬)已知數(shù)列{an}滿足an+1=
          2an
          an+2
          (n∈N*),a2011=
          1
          2011

          (1)求{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)若bn=
          4
          an
          -4023
          cn=
          b
          2
          n+1
          +
          b
          2
          n
          2bn+1bn
          (n∈N*)
          ,求證:c1+c2+…+cn<n+1.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江西模擬)已知函數(shù)f(x)=ax-lnx+1(a∈R),g(x)=xe1-x
          (1)求函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,e]上的值域;
          (2)是否存在實(shí)數(shù)a,對(duì)任意給定的x0∈(0,e],在區(qū)間[1,e]上都存在兩個(gè)不同的xi(i=1,2),使得f(xi)=g(x0)成立.若存在,求出a的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說明理由.
          (3)給出如下定義:對(duì)于函數(shù)y=F(x)圖象上任意不同的兩點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),如果對(duì)于函數(shù)y=F(x)圖象上的點(diǎn)M(x0,y0)(其中x0=
          x1+x22
          )
          總能使得F(x1)-F(x2)=F'(x0)(x1-x2)成立,則稱函數(shù)具備性質(zhì)“L”,試判斷函數(shù)f(x)是不是具備性質(zhì)“L”,并說明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          (2011•江西模擬)設(shè)a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(
          π
          2
          -x)
          滿足f(-
          π
          3
          )=f(0)
          ,
          (Ⅰ)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間;
          (Ⅱ)設(shè)△ABC三內(nèi)角A,B,C所對(duì)邊分別為a,b,c且
          a2+c2-b2
          a2+b2-c2
          =
          c
          2a-c
          ,求f(x)在(0,B]上的值域.

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          同步練習(xí)冊(cè)答案