Question

【題目】已知且，函數(shù)，記.

（1）求函數(shù)的定義域及其零點(diǎn)；

（2）若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)僅有一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）定義域?yàn)?/span>，零點(diǎn)為0.（2）見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）根據(jù)得的解析式，即可求出的定義域，令，由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可解得的值，通過(guò)檢驗(yàn)即可得到零點(diǎn)；（2）方程可化為，設(shè)，構(gòu)造函數(shù)，可得單調(diào)性與最值，進(jìn)而可得的取值范圍.

試題解析：（1），

所以，解得，所以的定義域?yàn)?/span>.

令，則，

方程變?yōu)?/span>，即，

解得，

經(jīng)檢驗(yàn)是方程的增根，所以方程的解為，所以的零點(diǎn)為0.

（2）方程可化為 ，

所以，

設(shè)，則函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，

當(dāng)時(shí)，此時(shí)， ，所以，

①若，則，方程有解；

②若，則，方程有解.

綜上所述，當(dāng)時(shí)， 的取值范圍是；當(dāng)時(shí)， 的取值范圍是.