Question

已知函數(shù)f（x）=x+

a

x

有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）是增函數(shù)，求b的值；
（2）證明：函數(shù)f（x）=x+

a

x

（常數(shù)a＞0）在（0，

a

]上是減函數(shù)；
（3）設(shè)常數(shù)c∈（1，9），求函數(shù)f（x）=x+

c

x

在x∈[1，3]上的最小值和最大值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題設(shè)條件知

2b

=4，由此可知求出b值；
（2）由已知中函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，判斷導(dǎo)數(shù)在（0，

a

]上的符號，進(jìn)而可由導(dǎo)數(shù)符號與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系得到答案．
（3）由常數(shù)c∈（1，9），可得

c

的范圍，根據(jù)已知可得當(dāng)x=

c

時，函數(shù)取最小值，比較f（1）與f（3）的大小，可得函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=x+

a

x

在（0，

a

]上是減函數(shù)，在[

a

，+∞）上是增函數(shù)
且函數(shù)y=x+

2b

x

（x＞0）在（0，4]上是減函數(shù)，在[4，+∞）是增函數(shù)，
故

2b

=4
解得b=4
證明：（2）∵函數(shù)f（x）=x+

a

x

（常數(shù)a＞0）
∴f（x）=1-

a

x2

，
當(dāng)x∈（0，

a

]時，x²≤a
即

a

x2

≥1，
此時f（x）=1-

a

x2

≤0恒成立
故函數(shù)f（x）=x+

a

x

（常數(shù)a＞0）在（0，

a

]上是減函數(shù)
（3）當(dāng)c∈（1，9）時，

c

∈（1，3）
故當(dāng)x=

c

時，函數(shù)取最小值2

c

而f（1）-f（3）=

2(c-3)

3

故當(dāng)1＜c≤3時，函數(shù)的最大值是f（3）=3+

c

3

當(dāng)3＜c＜9時，函數(shù)的最大值是f（1）=1+c

點評：本題考查的知識點是函數(shù)的最值及其意義，函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)，熟練掌握對勾函數(shù)f（x）=x+

a

x

（常數(shù)a＞0）的圖象和性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．