Question

已知函數(shù)f（x）=sinx+cos（x-

π

6

），x∈R．
（I）求f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（II）設(shè)△ABC中，角A、B的對(duì)邊分別為a、b，若B=2A，且b=2af（A-

π

6

），求角C的大�。�

Answer 1

分析：（1）將函數(shù)表達(dá)式展開(kāi)合并，再用輔助角公式化簡(jiǎn)，得f（x）=

3

sin（x+

π

6

）．再根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)區(qū)間和對(duì)稱軸的公式，不難求出f（x）的單調(diào)增區(qū)間及f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）由b=2af（A-

π

6

）結(jié)合（1）的表達(dá)式，得b=2

3

asinA，再用正弦定理結(jié)合二倍角的正弦公式，算出cosA=

3

sinA，得tanA=

3

3

，結(jié)合特殊角的正切值得到A=

π

6

，所以B=2A=

π

3

，最后根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可得角C的大�。�

解答：解   （1）f（x）=sinx+cos（x-

π

6

）=sinx+

3

2

cosx+

1

2

sinx=

3

2

sinx+

3

2

cosx
∴f（x）=

3

（sinxcos

π

6

+cosxsin

π

6

）=

3

sin（x+

π

6

）
令-

π

2

+2kπ≤x+

π

6

≤

π

2

+2kπ，（k∈Z），得-

2π

3

+2kπ≤x≤

π

3

+2kπ
單調(diào)增區(qū)間為[-

2π

3

+2kπ，

π

3

+2kπ]，（k∈Z）
再設(shè)x+

π

6

=

π

2

+kπ，（k∈Z），得x=

π

3

+kπ，（k∈Z），即為f（x）圖象的對(duì)稱軸方程；
（2）∵f（A-

π

6

）=

3

sin[（A-

π

6

）+

π

6

]=

3

sinA，
∴b=2af（A-

π

6

）=2

3

asinA，
∵b：a=sinB：sinA，
∴sinB=2

3

sinAsinA，即2sinAcosA=2

3

sinAsinA
∵A是三角形內(nèi)角，sinA＞0
∴2cosA=2

3

sinA，得tanA=

3

3

∵A∈（0，π），∴A=

π

6

，得B=2A=

π

3

因此，C=π-（A+B）=

π

2

點(diǎn)評(píng)：本題將一個(gè)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡(jiǎn)，并求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和圖象的對(duì)稱軸，著重考查了三角函數(shù)的化簡(jiǎn)與求值、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、同角三角函數(shù)基本關(guān)系和二倍的三角函數(shù)等知識(shí)，屬于中檔題．