Question

已知圓，直線

（1）求證：直線恒過(guò)定點(diǎn)

（2）判斷直線被圓截得的弦長(zhǎng)何時(shí)最短？并求截得的弦長(zhǎng)最短時(shí)的值及最短長(zhǎng)度。

 

Answer 1

【答案】

（1）見(jiàn)解析（2）當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得弦長(zhǎng)最短，此時(shí)，最短弦長(zhǎng)為

【解析】

試題分析：（1）證明：直線的方程，

經(jīng)整理得，                                            ……1分

由的任意性，                                                   ……3分

  恒過(guò)定點(diǎn).                                                    ……5分

（2）解：因?yàn)橹本�恒經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)，當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得弦長(zhǎng)最短.       ……7分

由、，直線斜率，

又直線與直線垂直， 直線的斜率為2，

于是，,                                                     ……9分

最短弦長(zhǎng)為,                                                       ……11分

綜上所述，當(dāng)直線垂直于時(shí)被截得弦長(zhǎng)最短，

此時(shí)，最短弦長(zhǎng)為.                                                    ……12分

考點(diǎn)：本小題主要考查直線過(guò)定點(diǎn)、直線與圓的位置關(guān)系、弦長(zhǎng)等問(wèn)題，考查學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算求解能力.

點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直線與圓相交時(shí)，圓心到直線的距離、半弦長(zhǎng)和半徑組成一個(gè)直角三角形，這個(gè)直角三角形在解題時(shí)經(jīng)常用到.