Question

已知橢圓C的方程為，雙曲線的兩條漸近線為l₁，l₂，過橢圓C的右焦點F作直線l，使l⊥l₁，又l與l₂交于P，設(shè)l與橢圓C的兩個交點由上至下依次為A、B(如圖)．

(1)當(dāng)l₁與l₂的夾角為60°，且△POF的面積為時，求橢圓C的方程；

(2)當(dāng)時，求的最大值．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)l₁的斜率為，l₂的斜率為，由l₁與l₂的夾角為60°，得．

　　整理，得．①

　　由得．由，得．

　　∴．②

　　由①②，解得，b＝1．∴橢圓C方程為：．

　　(2)由，F(xiàn)(c，0)及，得．

　　將A點坐標(biāo)代入橢圓方程，得．

　　整理，得，

　　∴的最大值為，此時．

提示：

　　分析：(1)求橢圓方程即求a、b．根據(jù)題中的兩個數(shù)量關(guān)系：l₁與l₂的夾角為60°，△POF的面積為，列出關(guān)于a、b的兩個方程即可．

　　(2)由P、F的坐標(biāo)求出A點的坐標(biāo)，代入橢圓方程可得與a、b、c的關(guān)系，進而得出與離心率e的關(guān)系．

　　說明：本題考查綜合運用解析幾何知識解決問題的能力，重點考查在圓錐曲線中解決問題的基本方法，轉(zhuǎn)化能力，以及字母運算的能力．