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        1. 已知橢圓C的方程為
          x2
          a2
          y2
          b2
          =1
          (a>b>0),稱圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O,半徑為
          a2+b2
          的圓為橢圓C的“伴隨圓”,橢圓C的短軸長(zhǎng)為2,離心率為
          6
          3

          (Ⅰ)求橢圓C及其“伴隨圓”的方程;
          (Ⅱ)若直線l與橢圓C交于A,B兩點(diǎn),與其“伴隨圓”交于C,D兩點(diǎn),當(dāng)|CD|=
          13
           時(shí),求△AOB面積的最大值.
          分析:(Ⅰ)由題意得,e2=
          c2
          a2
          =
          a2-b2
          a2
          =1-
          b2
          a2
          =
          2
          3
          ,由b=1,知a2=3,由此能求出橢圓C的方程和“伴隨圓”的方程.
          (Ⅱ)當(dāng)CD⊥x軸時(shí),由|CD|=
          13
          ,得|AB|=
          3
          .當(dāng)CD與x軸不垂直時(shí),由|CD|=
          13
          ,得圓心O到CD的距離為
          3
          2
          .設(shè)直線CD的方程為y=kx+m,則由
          |m|
          1+k2
          =
          3
          2
          ,得m2=
          3
          4
          (k2+1)
          ,設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
          y=kx+m
          x2
          3
          +y2=1
          ,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0.故x1+x2=
          -6km
          3k2+1
          ,x1x2=
          3m2-3
          3k2+1
          ,由此能求出△AOB的面積取最大值.
          解答:解:(Ⅰ)由題意得,e2=
          c2
          a2
          =
          a2-b2
          a2
          =1-
          b2
          a2
          =
          2
          3
          ,
          又∵b=1,∴a2=3,∴橢圓C的方程為
          x2
          3
          +y2=1
          ,(3分)
          a2+b2
          =
          3+1
          =2
          ,
          ∴“伴隨圓”的方程為x2+y2=4.(4分)
          (Ⅱ)①當(dāng)CD⊥x軸時(shí),由|CD|=
          13
          ,得|AB|=
          3

          ②當(dāng)CD與x軸不垂直時(shí),由|CD|=
          13
          ,得圓心O到CD的距離為
          3
          2

          設(shè)直線CD的方程為y=kx+m,則由
          |m|
          1+k2
          =
          3
          2
          ,得m2=
          3
          4
          (k2+1)
          ,
          設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),由
          y=kx+m
          x2
          3
          +y2=1
          ,得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0.
          x1+x2=
          -6km
          3k2+1
          x1x2=
          3m2-3
          3k2+1
          .(6分)
          當(dāng)k≠0時(shí),|AB|2=(1+k2)(x1-x2)2
          =(1+k2)[(
          -6km
          3k2+1
          )2-
          12(m2-1)
          3k2+1
          ]

          =(1+k2)[
          36k2m2
          (3k2+1) 2
          -
          12(m2-1)
          3k2+1
          ]
          =
          3(1+k2)(9k2+1)
          (3k2+1)2

          =3+
          12k2
          9k4+6k2+1

          =3+
          12
          9k2+
          1
          k2
          +6

          ≤3+
          12
          2×3+6
          =4.
          當(dāng)且僅當(dāng)9k2=
          1
          k2
          ,即k=±
          3
          3
          時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)|AB|=2.
          當(dāng)k=0時(shí),|AB|=
          3
          ,綜上所述:|AB|max=2,
          此時(shí)△AOB的面積取最大值S=
          1
          2
          |AB|max×
          3
          2
          =
          3
          2
          .(10分)
          點(diǎn)評(píng):本題考查橢圓和“伴隨圓”的方程,考查三角形面積最大值的求法,解題時(shí)要認(rèn)真審題,仔細(xì)解答,注意挖掘題設(shè)中的隱含條件,合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓C的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1(a>b>0)
          ,橢圓C的左、右焦點(diǎn)分別為F1(-1,0)、F2(1,0),斜率為k(k≠0)的直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)F2,交橢圓于A、B兩點(diǎn),且△ABF1的周長(zhǎng)為8.
          (Ⅰ)求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)設(shè)點(diǎn)E為x軸上一點(diǎn),
          AF2
          F2B
          (λ∈R),若
          F1F2
          ⊥(
          EA
          BE
          )
          ,求點(diǎn)E的坐標(biāo).

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2013•崇明縣二模)已知橢圓C的方程為
          x2
          a2
          +
          y2
          2
          = 1
          (a>0),其焦點(diǎn)在x軸上,點(diǎn)Q(
          2
          2
          7
          2
          )
          為橢圓上一點(diǎn).
          (1)求該橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
          (2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P(x0,y0)滿足
          OP
          =
          OM
          +2
          ON
          ,其中M、N是橢圓C上的點(diǎn),直線OM與ON的斜率之積為-
          1
          2
          ,求證:
          x
          2
          0
          +2
          y
          2
          0
          為定值;
          (3)在(2)的條件下探究:是否存在兩個(gè)定點(diǎn)A,B,使得|PA|+|PB|為定值?若存在,給出證明;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          (2007•河北區(qū)一模)已知橢圓C的方程為 
          x2
          a2
          +
          y2
          b2
          =1 
          (a>b>0),過(guò)其左焦點(diǎn)F1(-1,0)斜率為1的直線交橢圓于P、Q兩點(diǎn).
          (Ⅰ)若
          OP
          +
          OQ
          a
          =(-3,1)共線,求橢圓C的方程;
          (Ⅱ)已知直線l:x+y-
          1
          2
          =0,在l上求一點(diǎn)M,使以橢圓的焦點(diǎn)為焦點(diǎn)且過(guò)M點(diǎn)的雙曲線E的實(shí)軸最長(zhǎng),求點(diǎn)M的坐標(biāo)和此雙曲線E的方程.

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知橢圓C的方程為
          x 2
          4
          +
          y2
          3
          =1,過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn),向量
          m
          =(-1,-4),若向量
          OA
          -
          OB
          m
          -
          OF
          共線,則直線AB的方程是( 。

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源:不詳 題型:單選題

          已知橢圓C的方程為
          x 2
          4
          +
          y2
          3
          =1,過(guò)C的右焦點(diǎn)F的直線與C相交于A、B兩點(diǎn),向量
          m
          =(-1,-4),若向量
          OA
          -
          OB
          m
          -
          OF
          共線,則直線AB的方程是( 。
          A.2x-y-2=0B.2x+y-2=0C.2x-y+2=0D.2x+y+2=0

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