Question

如圖，半徑為30的圓形（為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料，其中點在圓弧上，點在兩半徑上，現(xiàn)將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計剪裁和拼接損耗），設(shè)與矩形材料的邊的夾角為，圓柱的體積為.

（Ⅰ）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式？

（Ⅱ）求圓柱形罐子體積的最大值.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）；（Ⅱ）。

【解析】

試題分析：方法一：（Ⅰ）在中，，將此矩形材料卷成一個以為母線的圓柱，則其底面周長為，設(shè)地面半徑為，則，由柱體的體積公式，可知；（Ⅱ）利用換元法求解，令，則，對其求導(dǎo)可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可知當(dāng)時，體積取得最大值.

方法二：（1）連接OB，在Rt△OAB中，由AB=x，則，利用勾股定理可得，設(shè)圓柱底面半徑為r，則＝2πr，即可得出r．

利用V=πr2•x（其中0＜x＜30）即可得出V與x的關(guān)系，進(jìn)而得到關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

（2）利用（1）可知（），再對V求導(dǎo)得V′，得出其單調(diào)性，可知在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)，所以當(dāng)時，有最大值．

試題解析：【解法1】：（1）

（2）令，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

即當(dāng)時，體積取得最大值.

【解法2】：（1）連接，在中，設(shè)，則

設(shè)圓柱底面半徑為，則，即，

，其中.

（2）由，得;

由解得；由解得．

因此在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)．

所以當(dāng)時，有最大值．

考點：1.導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用；2.解三角形.