Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

x3-

a

2

x2-2a2x+1(a＞0)．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時(shí)，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，f（0））處的切線方程；
（Ⅱ）若方程f（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（Ⅲ）已知不等式f'（x）＜x²-x+1對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，求實(shí)數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數(shù)在x=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，最后根據(jù)點(diǎn)斜式可求出切線方程；
（II）利用導(dǎo)數(shù)分別求出函數(shù)的極大值和極小值，要使方程f（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零，建立不等式組，從而求出a的取值范圍；
（III）要使f'（x）＜x²-x+1對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，將x分離出來(lái)得x＞

2a2+1

1-a

，對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于

2a2+1

1-a

的最大值即可．

解答：解：（Ⅰ）a=1時(shí)，f(x)=

1

3

x3-

1

2

x2-2x+1，f′(x)=x2-x-2，f（0）=1，f'（0）=-2，
所以切線方程為y-1=-2x，即2x+y-1=0．…3
（Ⅱ）∵f'（x）=x²-ax-2a²，令x²-ax-2a²=0得x=-a或x=2a．
于是f'（x）＞0得x＜-a或x＞2a，f'（x）＜0得-a＜x＜2a．
所以x=-a時(shí)，f（x）取得極大值f(-a)=

7

6

a3+1；
x=2a時(shí)，f（x）取得極小值f(2a)=-

10

3

a3+1．…2
要使方程f（x）=0恰有三個(gè)不同的實(shí)根，則函數(shù)y=f（x）的極大值大于零，極小值小于零，
所以

7 6 a3+1＞0 - 10 3 a3+1＜0

，解之得a＞

3	3 10

=

3 300

10

．…2
（Ⅲ）要使f'（x）＜x²-x+1對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，
即x²-ax-2a²＜x²-x+1，∴（1-a）x＜2a²+1．
∵a∈（1，+∞），
∴1-a＜0，于是x＞

2a2+1

1-a

對(duì)任意a∈（1，+∞）都成立，則x大于

2a2+1

1-a

的最大值．
∵

2a2+1

1-a

=-[2(a-1)+

3

a-1

+4]≤-(2

6

+4)，
當(dāng)2(a-1)=

3

a-1

，即a=1+

6

2

時(shí)取等號(hào)．
故x＞(

2a2+1

1-a

)max=-(4+2

6

)．…5

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程，以及恒成立問(wèn)題和利用基本不等式求函數(shù)的最值，同時(shí)考查了計(jì)算能力，屬于中檔題．