Question

已知方向向量為的直線過橢圓（）的焦點(diǎn)以及點(diǎn)，橢圓的中心關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上。

（1）求橢圓的方程

（2）過點(diǎn)的直線交橢圓于點(diǎn)，且滿足

（為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線的方程

Answer 1

解：（1）已知直線方向向量為，所以，直線的斜率為，又直線過點(diǎn)，所以直線的方程為：

即

設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則直線的方程為：

解方程組：

  得

所以，點(diǎn)的坐標(biāo)為，又點(diǎn)在橢圓的右準(zhǔn)線上，

所以

又直線過橢圓的焦點(diǎn)，可知橢圓的該焦點(diǎn)為

所以    

故，橢圓的方程為：                ……………… 6分

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線直線的方程為：

聯(lián)立方程組  消得：

設(shè)，，則由韋達(dá)定理有：

                                                ……………… 10分

由條件得：

，且

所以

即         ……………… 12分

而

       

       

點(diǎn)到直線的距離為

所以有，解得，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線直線的方程為：

此時(shí)，，

也有

故直線： 或 為所求          ……………… 14分