Question

已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=1．{b_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+b_n}的前三項(xiàng)依次為3，7，13．求
（1）數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（1）∵已知數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，且a₁=1．{b_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{a_n+b_n}的前三項(xiàng)依次為3，7，13，所以我們易得到三個(gè)關(guān)于b₁和公差d及公比q的方程，解方程后，易得數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）由（1）易得數(shù)列{a_n+b_n}的通項(xiàng)公式，利用裂項(xiàng)法易得數(shù)列{a_n+b_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：①設(shè)公差為d，公比為q
∵數(shù)列{a_n+b_n}的前三項(xiàng)依次為3，7，13
∴

a1+b1=3 a2+b2=7 a3+b3=13

又a₁=1
∴

b1=2 d=2 q=2

∴a_n=2n-1，b_n=2ⁿ
②∵a_n=2n-1，b_n=2ⁿ
∴a_n+b_n=（2n-1）+2ⁿ
∴S_n=（a₁+a₂+…+a_n）+（b₁+b₂+…+b_n）
=

(1+2n-1)n

2

+

2(1-2n)

1-2

=n²+2ⁿ⁺¹-2

點(diǎn)評(píng)：方程思想是解決數(shù)列問(wèn)題的基本思想，通過(guò)公差（或公比）列方程（組）來(lái)求解基本量是數(shù)列中最基本的方法，同時(shí)在解題中也要注意數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用．若一個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)可以分解為一個(gè)等差數(shù)列加上一個(gè)等比數(shù)列的形式，可用裂項(xiàng)法，將數(shù)列的和分為等差和等比兩部分，分別代入對(duì)應(yīng)的公式，進(jìn)行求解．（如第二步）