Question

已知經過點(

2

，

3

)的雙曲線C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)的離心率為2．
（Ⅰ）求雙曲線C的方程；
（Ⅱ）是否存在經過（0，-1）的直線l與雙曲線C有兩個不同的交點A、B，且線段AB的垂直平分線分別交x軸，y軸與點P、Q，使得四邊形APBQ為菱形？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）依題意有：

c

a

=2，

2

a2

-

3

b2

=1，且c²=a²+b²，由此能求出雙曲線C的方程．
（Ⅱ）①若直線l的斜率不存在，則直線l與雙曲線C沒有交點，故滿足條件的直線l不存在．②若直線l的斜率為0，則線段AB為y軸平行；不滿足條件，直線l不存在．③若直線l的斜率為±

3

，則直線l與雙曲線C的漸近線平行，故滿足條件的直線l不存在．④若直線l的斜率存在，且不為0不為±

3

時設為k，則直線l的方程為y=kx-1．設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），由

y=kx-1 x2- y2 3 =1

，得（3-k²）x+2kx-4=0，由△=4k²+16（3-k²）＞0，得-2＜k＜2．由此能導出不存在滿足條件的直線．

解答：解：（Ⅰ）依題意有：

c

a

=2，

2

a2

-

3

b2

=1，
且c²=a²+b²，所以a²=1，b²=3，
雙曲線C的方程為x2-

y2

3

=1…（4分）
（Ⅱ）①若直線l的斜率不存在，則直線l與雙曲線C沒有交點，故滿足條件的直線l不存在．
②若直線l的斜率為0，則線段AB為y軸平行；不滿足條件，直線l不存在．
③若直線l的斜率為±

3

，則直線l與雙曲線C的漸近線平行，故滿足條件的直線l不存在．
④若直線l的斜率存在，且不為0不為±

3

時設為k，
則直線l的方程為y=kx-1…（6分）
設A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
由

y=kx-1 x2- y2 3 =1

，
得（3-k²）x+2kx-4=0，
△=4k²+16（3-k²）＞0，
∴-2＜k＜2…（7分）
∴x1+x2=

2k

k2-3

y1+y2=

6

k2-3

∴線段AB的中點為(

k

k2-3

，

3

k2-3

)
∴線段AB的垂直平分線y-

3

k2-3

=-

1

k

(x-

k

k2-3

)
∴P(

4k

k2-3

，0)Q(0，

4

k2-3

)
∴線段PQ的中點為(

2k

k2-3

，

2

k2-3

)
若四邊形APBQ為菱形，則線段PQ的中點在直線l上，
所以

2

k2-3

=k•

2k

k2-3

-1，
解得k²=-1，這矛盾．…（11分）
綜上，不存在滿足條件的直線．…（12分）

點評：本題考查雙曲線方程的求法，考查直線與圓錐曲線的位置關系的應用，考查化歸與轉化、分類與整合的數(shù)學思想，培養(yǎng)學生的抽象概括能力、推理論證能力、運算求解能力和創(chuàng)新意識．