Question

定義域?yàn)镽的函數(shù)f（x）=

lg|x-2| (x≠2) 1 (x=2)

，若關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，則f（x₁+x₂+x₃）等于（　�。�

• A、0
• B、l
• C、3lg2
• D、2lg2

Answer 1

分析：本題研究由根的個(gè)數(shù)及函數(shù)f（x）=

lg|x-2| (x≠2) 1 (x=2)

的圖象特征研究關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃之間的關(guān)系，由三根之間的關(guān)系確定它們和的值，從而求出f（x₁+x₂+x₃）的值得出正確選項(xiàng)

解答：解：由題意f（x）=

lg|x-2| (x≠2) 1 (x=2)

的圖象如下，由圖知y=1與函數(shù)f（x）=

lg|x-2| (x≠2) 1 (x=2)

有三個(gè)交點(diǎn)，
∵關(guān)于x的方程f²（x）+b f（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解x₁，x₂，x₃，
∴若關(guān)于f（x）的一元二次函數(shù)僅有一個(gè)根為f（x）=1，由圖象知，此時(shí)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，由于函數(shù)的圖象關(guān)于x=2對(duì)稱，故此時(shí)有f（x₁+x₂+
x₃）=f（6）=lg4=2lg2
若關(guān)于f（x）的一元二次函數(shù)僅有一個(gè)根不為f（x）=1，由圖象知，此時(shí)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0恰有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不滿足題意；
若關(guān)于f（x）的一元二次函數(shù)有二個(gè)不同的根，由圖象知，此時(shí)關(guān)于x的方程f²（x）+bf（x）+c=0有四個(gè)不同的實(shí)數(shù)解或五個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，不滿足題意
由上討論知，f（x₁+x₂+x₃）=2lg2
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查根的存在性與根的個(gè)數(shù)判斷，解題的關(guān)鍵是作出函數(shù)f（x）=

lg|x-2| x≠2 1         x=2

的圖象，結(jié)合一元二次方程根的情況判斷出三個(gè)根的關(guān)系，本題作出函數(shù)的圖象，考查了以助數(shù)的思想，以圖象作輔助判斷的手段是函數(shù)中研究問(wèn)題時(shí)常采用的策略，要善于利用作圖工具作出標(biāo)準(zhǔn)的圖象