Question

一雙曲線與橢圓

x2

27

+

y2

36

=1有共同焦點(diǎn)，并且與其中一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，則這個(gè)雙曲線的方程為

-

x2

5

+

y2

4

=4

．

Answer 1

分析：橢圓

x2

27

+

y2

36

=1，故有焦點(diǎn)為F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），由此設(shè)出雙曲線的方程，再由雙曲線與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4，求出此點(diǎn)的橫坐標(biāo)，將此點(diǎn)的坐標(biāo)代入方程，求出參數(shù)即得雙曲線方程即可

解答：解：設(shè)雙曲線方程為

y2

a2

-

x2

b2

=1(a＞0，b＞0)，
由已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F₁（0，-3），F(xiàn)₂（0，3），
又雙曲線與橢圓交點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為4，
∴A(±

15

，4)，

42 a2 - ( 15 )2 b2 =1 a2+b2=9

，
解得

a2=4 b2=5

，
故雙曲線方程為

y2

4

-

x2

5

=1．
故答案為：-

x2

5

+

y2

4

=1．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是兩者共同的特征設(shè)出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，解題時(shí)要善于抓住問題的關(guān)鍵點(diǎn)．