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        1. 如圖所示,圓柱底面的直徑AB長(zhǎng)度為2數(shù)學(xué)公式,O為底面圓心,正三角形ABP的一個(gè)頂點(diǎn)P在上底面的圓周上,PC為圓柱的母線(xiàn),CO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E,BP的中點(diǎn)為F.
          (1)求證:平面ABP⊥平面ACF;
          (2)求二面角F-CE-B的正切值.

          (1)證明:正三角形ABP中,F(xiàn)為BP的中點(diǎn),∴AF⊥PB …(1分)
          ∵PC為圓柱的母線(xiàn),∴PC⊥平面ABC,
          ∵AC?平面ABC,∴PC⊥AC …(2分)
          ∵AB為圓O的直徑,∴∠ACB=90°,即AC⊥BC …(3分)
          ∵PC∩BC=C,∴AC⊥平面PBC,…(4分)
          ∵PB?平面PBC,∴AC⊥=B …(5分)
          ∵AC∩AF=A,∴PB⊥平面ACF,…(6分)
          ∵PB?平面ABP,∴平面ABP⊥平面ACF;…(7分)
          (2)解:由(1)知AC⊥BC,PC⊥AC,同理PC⊥BC,
          ∵PA=PB=AB=2,∴Rt△PAC≌Rt△PBC,
          ∴AC=BC=PC=2…(8分)
          以C為原點(diǎn),CA,CB,CP所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,則C(0,0,0),F(xiàn)(0,1,1),O(1,1,0),P(0,0,2)…(9分)
          ∵PC⊥平面ABC,∴為平面CEB的一個(gè)法向量…(10分)
          設(shè)平面CEF的一個(gè)法向量,∵
          ,令y=-1,則 …(11分)
          設(shè)二面角F-CE-B的平面角為θ,
          ∴cosθ==…(12分)
          ∴sinθ=,…(13分)
          ∴二面角F-CE-B的正切值tanθ== …(14分)
          分析:(1)先證明AC⊥平面PBC,再證明PB⊥平面ACF,即可證明平面ABP⊥平面ACF;
          (2)以C為原點(diǎn),CA,CB,CP所在直線(xiàn)為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,求出為平面CEB的一個(gè)法向量,平面CEF的一個(gè)法向量為,利用向量的夾角公式,即可求得二面角F-CE-B的正切值.
          點(diǎn)評(píng):本題考查面面垂直,考查面面角,解題的關(guān)鍵是掌握面面垂直的判定,利用空間向量求出平面的法向量,屬于中檔題.
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          精英家教網(wǎng)
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          (2012•茂名二模)如圖所示,圓柱底面的直徑AB長(zhǎng)度為2
          2
          ,O為底面圓心,正三角形ABP的一個(gè)頂點(diǎn)P在上底面的圓周上,PC為圓柱的母線(xiàn),CO的延長(zhǎng)線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)E,BP的中點(diǎn)為F.
          (1)求證:平面ABP⊥平面ACF;
          (2)求二面角F-CE-B的正切值.

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          (1)   求證:平面⊥平面;

          (2)   求二面角的正切值.

           

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