Question

在如圖所示的直角坐標系中，B為單位圓在第一象限內(nèi)圓弧上的動點，A（1，0），設(shè)∠AOB=x(0＜x＜

π

2

)，過B作直線BC∥OA，并交直線y=-

3

3

x于點C．
（1）求點C的坐標 （用含x的式子表示）；
（2）試求△ABC的面積的最大值，并求出相應(yīng)x值．

Answer 1

分析：（1）確定B的坐標，利用過B作直線BC∥OA，并交直線y=-

3

3

x于點C，可得點C的坐標；
（2）表示出△ABC的面積，利用輔助角公式化簡，結(jié)合角的范圍，即可得到結(jié)論．

解答：解：（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義，可知B（cosx，sinx）
∵BC∥OA
∴C點縱坐標為y_C=sinx
將y_C代入直線y=-

3

3

x，得：x_C=-

3

sinx
∴點C（-

3

sinx，sinx）；
（2）∵BC∥OA，
∴A到BC的距離為sinx
∵|BC|=cosx+

3

sinx
∴S_△ABC=

1

2

|BC|sinx=

1

2

（cosx+

3

sinx）sinx=

1

2

sin（2x-

π

3

）+

3

4

∵0＜x＜

π

2

∴-

π

3

＜2x-

π

3

＜

2π

3

∴當(dāng)2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

時，S_△ABC取得最大值為

1

2

+

3

4

．

點評：本題考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題，考查三角函數(shù)的化簡，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．