Question

（2012•大豐市一模）如圖所示，在直角坐標平面內，反比例函數(shù)的圖象經過A（1，4），B（a，b），其中a＞1．過點A作x軸垂線，垂足為C，過點B作y軸垂線，垂足為D，連接AD、DC、CB．
（1）若△ABD的面積為4，求點B的坐標；
（2）求證：DC∥AB；
（3）四邊形ABCD能否為菱形？如果能，請求出四邊形ABCD為菱形時，直線AB的函數(shù)解析式；如果不能，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據題意，得C（1，0），設出點D坐標和反比例函數(shù)解析式，結合點A（1，4）在函數(shù)圖象上，得到反比例函數(shù)解析式，從而得到ab=4，再根據△ABD的面積為4，列式化簡得4a-ab=4a-4=8，最后聯(lián)解方程組，可得點B的坐標為（3，

4

3

）．
（2）根據經過兩點直線斜率的公式，結合C、D的坐標，得到直線DC的斜率為-b．同理根據A、B兩點的坐標，得到直線AB的斜率關于a、b的式子．再根據反比例解析式，有ab=4，代入化簡可得KAB=

b-4

a-1

=-b，直線AB與直線DC的斜率相等，因此得到DC∥AB．
（3）根據四邊形ABCD的對角線互相垂直，可得只要四邊形ABCD是平行四邊形，它就是一個菱形．再由（2）知DC∥AB，所以只需DC=AB，即可．接下來利用兩點的距離公式，根據CD=AB列出關于a、b的等式，結合ab=4，解之得a=b=2．從而得到當B點坐標為（2，2）時，四邊形ABCD為菱形．最后用經過兩點的直線斜率的公式，得出此時直線AB的斜率，從而可得直線AB方程．

解答：解：（1）根據題意，得C（1，0），設點D（0，b），反比例函數(shù)解析式為y=

m

x

∵A（1，4）在反比例函數(shù)圖象上，
∴4=

m

1

，即m=4，
再根據點B（a，b）在反比例函數(shù)圖象上，可得ab=4，
∴S_△ABD=0.5*a（4-b）=4，即4a-ab=4a-4=8，
∴聯(lián)解方程組得：a=3，b=

4

3

，可得點B的坐標為（3，

4

3

）．------（4分）
（2）C（1，0），設D（0，b），
∴直線DC的斜率為KDC=

b-0

0-1

=-b．
同理，根據A（1，4），（a，b），可得直線AB的斜率為KAB=

b-4

a-1

．
∵點B在反比例函數(shù)圖象上，有ab=4
∴KAB=

b-4

a-1

=

b-ab

a-1

=-b=K_DC
所以DC∥AB．------（4分）
（3）四邊形ABCD能為菱形．
∵四邊形ABCD的對角線互相垂直，
∴當四邊形ABCD是平行四邊形時，四邊形ABCD就是菱形．
由（2）得DC∥AB，所以只需DC=AB，即可．
設

(1-a)2+(4-b)2

=

12+b2

，
結合ab=4，可得a=b=2．
∴點為B（2，2）時，四邊形ABCD為菱形時，
此時直線AB的斜率為KAB=

2-4

2-1

=-2，
由直線的點斜式方程，得AB方程為y-2=-2（x-2），化簡得所求函數(shù)解析式為y=-2x+6；------（4分）

點評：本題以反比例函數(shù)圖象為載體，一方面根據三角形的面積求點的坐標，另一方面證明直線互相平行、判斷四邊形形狀，著重考查了直線的斜率和直線的方程、兩點的距離公式和坐標系內三角形面積求法等知識點，屬于中檔題．