Question

已知存在實(shí)數(shù)ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)．
（1）當(dāng)ω=1，|ϕ|＜π時，φ的值為    ；
（2）所有符合題意的ω與φ的值為    ．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可得，再分別驗(yàn)證φ得數(shù)值是否符合題中的條件：f（x）在上是減函數(shù)，進(jìn)而得到答案．
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得φ=，k∈Z，所以討論當(dāng)k=2n（n∈Z）與當(dāng)k=2n+1（n∈Z）兩種情況討論，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決問題即可得到答案．
解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，
所以φ=，（k∈Z），
因?yàn)閨φ|＜π，所以．
當(dāng)時，f（x）=2cos（x+）=-2sinx，
所以根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在上是減函數(shù)，
所以舍去．
當(dāng)時，f（x）=2cos（x-）=2sinx，
所以根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在上是增函數(shù)，
所以符合題意，所以．
（2）由f（x）為奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得：φ=，k∈Z．
當(dāng)k=2n（n∈Z）時，為奇函數(shù)，
因?yàn)閒（x）在上是增函數(shù)，
所以ω＜0，由，
又f（x）在 （0，π4）上是增函數(shù)，故有，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故．
當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時，為奇函數(shù)，
因?yàn)閒（x）在上是增函數(shù)，
所以ω＞0，由，
又f（x）在 （0，π4）上是增函數(shù)，故有，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故．
所以所有符合題意的ω與φ的值為：
或者．
點(diǎn)評：本題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，及其單調(diào)性與奇偶性的綜合推理能力，考查運(yùn)算能力，有一定的難度．