Question

已知存在實(shí)數(shù)ω，φ（其中ω≠0，ω∈Z）使得函數(shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，且在(0，

π

4

)上是增函數(shù)．
（1）當(dāng)ω=1，|?|＜π時(shí)，φ的值為

 

；
（2）所有符合題意的ω與φ的值為

 

．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)題意可得φ=

π

2

或者φ=-

π

2

，再分別驗(yàn)證φ得數(shù)值是否符合題中的條件：f（x）在(0，

π

4

)上是減函數(shù)，進(jìn)而得到答案．
（2）根據(jù)f（x）為奇函數(shù)，可得φ=kπ+

π

2

，k∈Z，所以討論當(dāng)k=2n（n∈Z）與當(dāng)k=2n+1（n∈Z）兩種情況討論，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解決問(wèn)題即可得到答案．

解答：解：（1）因?yàn)楹瘮?shù)f（x）=2cos（ωx+φ）是奇函數(shù)，
所以φ=

π

2

+kπ，（k∈Z），
因?yàn)閨φ|＜π，所以φ=

π

2

或者φ=-

π

2

．
當(dāng)φ=

π

2

時(shí)，f（x）=2cos（x+

π

2

）=-2sinx，
所以根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在(0，

π

4

)上是減函數(shù)，
所以φ=

π

2

舍去．
當(dāng)φ=-

π

2

時(shí)，f（x）=2cos（x-

π

2

）=2sinx，
所以根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)可得f（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，
所以φ=-

π

2

符合題意，所以φ=-

π

2

．
（2）由f（x）為奇函數(shù)，有f（-x）=-f（x）
∴2cos（-ωx+φ）=-2cos（ωx+φ）
所以2cosωx•cosφ=0，
又x∈R，∴cosωφ≠0，∴cosφ=0，
解得：φ=kπ+

π

2

，k∈Z．
當(dāng)k=2n（n∈Z）時(shí)，f(x)=2cos(ωx+2nπ+

π

2

)=2sin(-ωx)為奇函數(shù)，
因?yàn)閒（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，
所以ω＜0，由

π

2

≤-ωx≤

π

2

?

π

2ω

≤x≤

-π

2ω

，
又f（x）在 （0，π4）上是增函數(shù)，故有(0，

π

4

)⊆[

π

2ω

，

-π

2ω

]，

π

4

≤

-π

2ω

，-2≤ω＜0，且ω=Z，
∴ω=-1或-2，故

ω=-1或-2 ?=2nπ+ π 2 ，n∈Z

．
當(dāng)k=2n+1（n∈Z）時(shí)，f(x)=2cos(ωx+2nπ+π+

π

2

)=-2sin(ωx)為奇函數(shù)，
因?yàn)閒（x）在(0，

π

4

)上是增函數(shù)，
所以ω＞0，由

π

2

≤ωx≤

π

2

?-

π

2ω

≤x≤

π

2ω

，
又f（x）在 （0，π4）上是增函數(shù)，故有(0，

π

4

)⊆[-

π

2ω

，

π

2ω

]，

π

4

≤

π

2ω

，0＜ω≤2，且ω=Z，
∴ω=1或2，故

ω=1或2 ?=(2n+1)π+ π 2 ，n∈Z

．
所以所有符合題意的ω與φ的值為：

ω=-1或-2 ?=2nπ+ π 2 ，n∈Z

或者

ω=1或2 ?=(2n+1)π+ π 2 ，n∈Z

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，函數(shù)的單調(diào)性，奇偶性，及其單調(diào)性與奇偶性的綜合推理能力，考查運(yùn)算能力，有一定的難度．