Question

已知直線過橢圓的右焦點(diǎn)F，拋物線：的焦點(diǎn)為橢圓的上頂點(diǎn)，且直線交橢圓于、兩點(diǎn)，點(diǎn)、F、 在直線上的射影依次為點(diǎn)、、.

   （1）求橢圓的方程；

   （2）若直線交y軸于點(diǎn)，且，當(dāng)變化時(shí)，探求

的值是否為定值？若是，求出的值，否則，說明理由；

   （3）連接、，試探索當(dāng)變化時(shí)，直線與是否相交于定點(diǎn)？

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）易知橢圓右焦點(diǎn)∴，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)

橢圓的方程    ……………4分

   （Ⅱ）易知，且與軸交于，設(shè)直線交橢圓于

由∴

∴……………6分

    又由 

    同理∴

∵  ∴    ……9分

所以，當(dāng)變化時(shí)， 的值為定值；                            ……………10分

（Ⅲ）先探索，當(dāng)時(shí)，直線軸，則為矩形，由對稱性知，

與相交 的中點(diǎn)，且，

猜想：當(dāng)變化時(shí)，與相交于定點(diǎn)                       ……………11分

證明：由（Ⅱ）知，∴當(dāng)變化時(shí)，首先證直線過定點(diǎn)，

方法1）∵，當(dāng)時(shí)，

∴點(diǎn)在直線上，

同理可證，點(diǎn)也在直線上；∴當(dāng)變化時(shí)，與相交于定點(diǎn)………14分

方法2）∵

∴    ∴、、三點(diǎn)共線，同理可得、、也三點(diǎn)共線；

    ∴當(dāng)變化時(shí)，與相交于定點(diǎn)                ……………14

【解析】略