Question

設(shè)函數(shù).
（I）求函數(shù)的最小值；
（Ⅱ）若，且，求證：；
（Ⅲ）若，且，
求證：.

Answer 1

解：（I），

令，得，所以在遞減，在遞增.
所以.
（Ⅱ）


由（I）知當(dāng)時(shí)，，
又，，∴
∴.
（Ⅲ）用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：1°當(dāng)時(shí)，由（Ⅱ）可知，不等式成立；
2°假設(shè)()時(shí)不等式成立，
即若，且時(shí)，
不等式成立
現(xiàn)需證當(dāng)()時(shí)不等式也成立，
即證：若，且時(shí)，不等式
成立.
證明如下：設(shè)，則


......①
同理
     .....②
由①+②得：

又由（Ⅱ）令，則，其中，
則有
∴∴

∴當(dāng)時(shí)，原不等式也成立.
綜上，由1°和2°可知，對(duì)任意的原不等式均成立.

略